【大高考】2017版高考数学一轮总复习第7章不等式、推理与证明第5节推理与证明模拟创新题理一、选择题1.(2016·辽宁抚顺模拟)对累乘运算Π有如下定义：ak＝a1·a2·…·an，则下列命题中的真命题是()A.Π2k不能被10100整除B.＝22015C.Π(2k－1)不能被5100整除D.Π(2k－1)Π2k＝Πk解析Π(2k－1)Π2k＝(1×3×5×…×2015)×(2×4×6×…×2014)＝1×2×3×…×2014×2015＝Πk，故选D.答案D2.(2015·上海闸北二模)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A.n＋1B.2nC.D.n2＋n＋1解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.答案C二、填空题3.(2016·山东枣庄模拟)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，…，观察上述式子，可推测一般的结论为________.解析由f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3可得f(21)＝，f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞.从而可推测f(2n)≥，(n∈N*).答案f(2n)≥(n∈N*)4.(2015·广东模拟)已知n，k∈N*，且k≤n，kC＝nC，则可推出C＋2C＋3C＋…＋kC＋…＋nC＝n(C＋C＋…C＋…C)＝n·2n－1，由此，可推出C＋22C＋32C＋…＋k2C＋…＋n2C＝________.解析C＋22C＋32C＋…＋k2C＋…＋n2C＝n(C＋2C＋…＋kC＋…＋nC)＝n[(C＋C＋…＋C＋…＋C)＋(C＋2C＋…＋(k－1)C＋…＋(n－1)C)].答案n(n＋1)·2n－25.(2014·扬州质检)设f(n)＝1＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)＝________.解析 f(n)＝1＋＋＋＋…＋，∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案＋＋6.(2016·甘肃酒泉模拟)已知12＝×1×2×3，12＋22＝×2×3×5，12＋22＋32＝×3×4×7，12＋22＋32＋42＝×4×5×9，则12＋22＋…＋n2＝________(其中n∈N*).解析根据题意归纳出12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)·(2n＋1)，故填n(n＋1)(2n＋1).答案n(n＋1)(2n＋1)创新导向题归纳推理问题7.(2016·广东深圳调研二，8)如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×，所以，圆环的面积等于以AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长2π×为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：若将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0＜r＜d)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是()A.2πr2dB.2π2r2dC.2πrd2D.2π2rd2解析已知中圆环的面积等于以AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长2π×为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0＜r＜d)绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积应等于以圆(x－d)2＋y2＝r2围成的圆面为底面，以圆心(d，0)绕y轴旋转一周所形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积V＝πr2·2πd＝2π2r2d.故选B.答案B专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2015·大连二模)已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*，且n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2012＝()A.503B.1006C.0D.2012解析 f1(x)＝sinx＋cosx，f2(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，又f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1＋f2＋…＋f2012＝×503＝0.答案C二、填空题9.(2016·湖南岳阳模拟)已知＝2，＝3，＝4，…，若＝7，(a、b均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a＋b＝________.解析观察下列等式＝2，＝3，＝4，…，照此规律，第7个等式中：a＝7，b＝72－1＝48，∴a＋b＝55，故答案为：55.答案5510.(2015·西安师大附中模拟)观察下列等式：＋＝1，＋＋＋＝12，＋＋＋＋＋＝39，…，则当n＜m且m，n∈N时，＋＋…＋＋＝________(最后结果用m，n表示).解析当n＝0，m＝1时，为第一个式子＋＝1，此时1＝12－0＝m2－n2，当n＝2，m＝4时，为第二个式子＋＋＋＝12；此时12＝42－22＝m2－n2，当n＝5，m＝8时，...
