题组层级快练(三十九)1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项之和为()A．2n－1B．n·2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2答案D解析记an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝－n＝2n＋1－2－n.2．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为()A.B.C.D.答案B解析bn＝＝＝－，S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.3．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于()A．13B．10C．9D．6答案D解析 an＝＝1－，∴Sn＝n－(＋＋…＋)＝n－1＋.而＝5＋，∴n－1＋＝5＋.∴n＝6.4．数列{(－1)n(2n－1)}的前2016项和S2016等于()A．－2016B．2016C．－2015D．2015答案B解析S2016＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2015－1)＋(2×2016－1)＝＝2016.故选B.5．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于()A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)答案B解析因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．则n≥2时，an＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．则数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列，故选B.6．已知等差数列{an}的公差为d，且an≠0，d≠0，则＋＋…＋可化简为()A.B.C.D.答案B解析 ＝(－)，∴原式＝(－＋－＋…＋－)＝(－)＝，选B.7．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0B．100C．－100D．10200答案B解析由题意，得a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.8．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是()A．2n＋1＋2－n－2B．2n＋1－n＋2C．2n－n－2D．2n＋1－n－2答案D解析Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋3×2n－2＋2×2n－1＋2n，②②－①，得Sn＝－n＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1＋2n＝－n＋＝2n＋1－n－2.故选D.9．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是()A.B.C.D.答案A解析 f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1.∴f(x)＝x2＋x＝x(x＋1)．数列{}(n∈N*)的前n项和为Sn＝＋＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.故选A.10．设直线nx＋(n＋1)y＝(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2013的值为()A.B.C.D.答案D解析直线与x轴交于(，0)，与y轴交于(0，)，∴Sn＝··＝＝－.∴原式＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.11．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________.答案5050解析原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＝5050.12．Sn＝＋＋…＋＝________.答案解析通项an＝＝＝(－)，∴Sn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.13．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝________.答案解析由Sn＝n2－6n，得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7.∴n≤3时，an<0；n>3时，an>0.∴Tn＝14．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.答案2600解析由已知，得a1＝1，a2＝2，a3－a1＝0，a4－a2＝2，…，a99－a97＝0，a100－a98＝2.累加得a100＋a99＝98＋3，同理得a98＋a97＝96＋3，…，a2＋a1＝0＋3，则a100＋a99＋a98＋…＋a2＋a1＝＋50×3＝2600.15．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，则log4S10＝________.答案9解析 an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．两式相减，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an.∴an＋1＝4an，即＝4.∴{an}从第2项起是公比为4的等比数列．当n＝1时，a2＝3S1＝3，∴n≥2时，an＝3·4n－2.S10＝a1＋a2＋…＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×＝1＋49－1＝49.∴log4S10＝log449＝9.16．已知数列{an}为等比数列．Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋an，且T1＝1，T2＝4.(1)求{an}的通项公式；(2)求{Tn}的通项公式．答案(1)an＝2n－1(2)Tn＝2n＋1－n－2解析(1)T1＝a1＝1，T2＝2a1＋a2＝...
