高考数学二轮复习”一本“培养优选练 中档大题分类练2 数列 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

中档大题分类练(二)数列(建议用时：60分钟)1．(2018·海南省二模)已知数列{an}是公差为1的等差数列，且a4，a6，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－2)an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．[解](1)因为a4，a6，a9成等比数列，所以a＝a4·a9，又因为数列{an}是公差为1的等差数列，a6＝a1＋5，a4＝a1＋3，a9＝a1＋8，所以(a1＋5)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n.(2)由(1)可知an＝n，因为bn＝(－2)an＋(－1)nan，所以bn＝(－2)n＋(－1)nn.所以S2n＝－2＋(－2)2＋…＋(－2)2n＋(－1＋2－3＋4－5＋…＋2n)＝＋n＝n＋.【教师备选】(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．[解](1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，所以{an}的通项公式为an＝.(2)记的前n项和为Sn.由(1)知＝＝－，则Sn＝＋＋…＋－＝.2．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．(1)证明：{an＋1}为等比数列；(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？[解](1)证明：∵a3＝7，a3＝3a2－2，∴a2＝3，∴an＝2an－1＋1，∴a1＝1，＝＝2(n≥2)，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，an＋1＝2n，∴an＝2n－1，∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2，∴n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，∴n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．【教师备选】已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋.(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[解](1)由an＋1＝an＋可得＝＋.又∵bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1，累加法可得：(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，化简并代入b1＝1得：bn＝2－.(2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn，则Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋，②Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴Tn＝4－.∴Sn＝n(n＋1)＋－4.3．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.[解](1)当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，∵an＞0，∴an＋1＝an＋2，∴当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3，当n＝1时，4a1＝a－5＝4，∴a1＝1，∵a2－a1＝3－1＝2，∴{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝×＋＋＋…＋＝·＜.4．已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn＝λ·4n－3λ＋1(λ∈R)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2＋1，求数列的前n项和Tn.[解](1)由Sn＝λ·4n－3λ＋1，得Sn－1＝λ·4n－1－3λ＋1(x≥2)．∴an＝Sn－Sn－1＝3λ·4n－1当n＝1时，a1＝S1＝λ＋1，∵＝4.∴{an}是以λ＋1为首项，4为公比的等比数列．∵＝＝16，，∴λ＝.∴an＝·4n－1，当n＝1时，a1＝，符合上式．∴an＝·4n－1.(2)由(1)知bn＝log2＋1＝log2＋1＝2n.∴＝＝.Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋…＋，②①－②得：Tn＝1＋＋…＋－＝1＋－＝－，∴Tn＝－·＝·＝.