高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 课时跟踪训练24 解三角形应用举例 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪训练(二十四)解三角形应用举例[基础巩固]一、选择题1．已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．aB.aC.aD．2a[解析]如图所示，由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2得AB＝a.故选B.[答案]B2．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m[解析]由题意得∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝50(m)．[答案]A3．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°[解析]灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.[答案]B4．在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m[解析]依题意画出示意图．则＝∴CM＝×10≈37.3.[答案]C5．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．2kmB．3kmC．3kmD．2km[解析]画出示意图如图，由条件知AB＝24×＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3.[答案]B6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.米B.米C.米D.米[解析]作出示意图如右图，由已知，在Rt△OAC中，OA＝200，∠OAC＝30°，则OC＝OA·tan∠OAC＝200tan30°＝.在Rt△ABD中，AD＝，∠BAD＝30°，则BD＝AD·tan∠BAD＝·tan30°＝，∴BC＝CD－BD＝200－＝.[答案]A二、填空题7．一船以每小时15km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[解析]如图所示，依题意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．[答案]308．(2017·广东广州市高三综合测试)江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.[解析]如图，由题意知，OA＝30，∠OAM＝45°，∠OAN＝30°，∠MON＝30°.在Rt△AOM中，OM＝OA·tan∠OAM＝30·tan45°＝30.在Rt△AON中，ON＝OA·tan∠OAN＝30·tan30°＝10.在△MON中，由余弦定理得MN＝＝＝＝10(m)．[答案]109．(2018·山西大学附中检测)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于________m.[解析]如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m,在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．[答案]120(－1)三、解答题10.港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？[解]在△BDC中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理知，cos∠CDB＝＝－，∴sin∠CDB＝.∴sin∠ACD＝sin＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin＝.在△ACD中，由正弦定理知＝⇒AD＝×21÷＝15.∴此时轮船距港口还有15海里．[能力提升]11．(2017·山西太原模拟)某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为()A．500(＋1)mB．500mC．500(＋1)mD．1000m[解析]过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30...