第三章第6节正弦定理和余弦定理及其应用[基础训练组]1．(导学号14577342)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－B.C．－D.解析：D[由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝. a>b，A＝60°，∴B为锐角，∴cosB＝＝＝.]2．(导学号14577343)(2018·上饶市一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，3cosA－cos(B＋C)＝1，a＝，B＝，则b等于()A.B．3C．2D.解析：C[△ABC中，由3cosA－cos(B＋C)＝3cosA＋cosA＝4cosA＝1，得cosA＝，∴sinA＝＝.再由正弦定理可得＝，即＝，解得b＝2.故选C.]3．(导学号14577344)(2016·高考新课标全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝()A.B.C.D.解析：D[ 在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，∴AB＝BC.由余弦定理得AC＝＝＝BC，所以BC·BC＝AB·AC·sinA＝·BC·BC·sinA，∴sinA＝，故选D.]4．(导学号14577345)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：C[由正弦定理，得sinB＝2sinCcosA，即sin(A＋C)＝2sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，所以sin(A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形为等边三角形．故选C.]5．(导学号14577346)(理科)如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为()A.B.C.D．5解析：C[在△ADC中， AD＝5，AC＝7，DC＝3，∴cos∠ADC＝＝－，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理＝，得AB＝.]5．(导学号14577347)(文科)(2018·乌鲁木齐市二诊)在△ABC中，BC＝1且cosA＝－，B＝，则BC边上的高等于()1A．1B.C.D.解析：C[ cosA＝－，B＝，∴sinA＝＝，sinC＝sin(A＋B)＝.由＝，BC＝1，可得AB＝，∴S△ABC＝AB·BC·sinB＝.设BC边上的高为h，S△ABC＝BC·h＝，∴h＝.故选C.]6．(导学号14577348)有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝，2cos2＝(－1)cosB，c＝________，求角A.(答案提示：A＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A＋C)＝(－1)cosB，所以1－cosB＝(－1)cosB，解得cosB＝，所以B＝45°，又A＝60°，所以C＝75°.根据正弦定理，得＝，解得c＝.故应填.答案：7．(导学号14577349)(2018·焦作市二模)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是_______________.解析：由正弦定理得a＋b＝2c，得c＝(a＋b)．由余弦定理得cosC＝＝＝＝－≥－＝，当且仅当a＝b时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.答案：8．(导学号14577350)(理科)(2018·新乡市二模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC＝，且acosB＋bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为________.解析： acosB＋bcosA＝2，∴a×＋b×＝2，∴c＝2，∴4＝a2＋b2－2ab×≥2ab－2ab×＝ab，∴ab≤(当且仅当a＝b＝时等号成立)．由cosC＝，得sinC＝，∴S△ABC＝absinC≤××＝，故△ABC的面积最大值为.答案：8．(导学号14577351)(文科)(2018·莆田市一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝，若a＝2，则△ABC面积的最大值为__________.解析： ＝，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝. A∈(0，π)，∴A＝. a＝2，∴由余弦定理得4＝b2＋c2－bc，∴4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c等号成立，∴S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，当且仅当b＝c等号成立，则△ABC面积的最大值为.答案：9．(导学号14577352)(2018·漳州市二模)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.2(1)若PB＝1，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)由已知得∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝(2)2＋1－2×2×1×cos30°＝7，∴PA＝.(2)设∠PBA＝α，由已知得∠PCB＝α，PB＝2sinα.在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cosα＝4sinα，∴tanα＝，∴tan∠PBA＝.10．(导学号14577353)(理科)(2017·高考全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的...
