第1节平面向量的概念及线性运算[A级基础巩固]1．(多选题)已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②AB＋MB＋BO＋OM；③OA＋OB＋BO＋CO；④AB－AC＋BD－CD，其中结果为零向量的是()A．①B．②C．③D．④解析：由题知结果为零向量的是①④.答案：AD2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是()A．a＝2bB．a∥bC．a＝－bD．a⊥b解析：由＋＝0得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使＋＝0成立．观察选项，C项中a，b共线且方向相反．答案：C3．已知AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，D解析：因为AD＝AB＋BC＋CD＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB，又AB，AD有公共点A，所以A，B，D三点共线．答案：B4．在△ABC中，G为重心，记AB＝a，AC＝b，则CG＝()A.a－bB.a＋bC.a－bD.a＋b解析：因为G为△ABC的重心，所以AG＝(AB＋AC)＝a＋b，所以CG＝CA＋AG＝－b＋a＋b＝a－b.答案：A5．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·a解析：对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上．答案：B7.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两1点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为()A．1B．2C．3D．4解析：因为O为BC的中点，所以AO＝(AB＋AC)＝(mAM＋nAN)＝AM＋AN，因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2.答案：B8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()A.B.C.D.解析：设CO＝yBC，因为AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋y)AC.因为BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈，因为AO＝xAB＋(1－x)AC，所以x＝－y，所以x∈.答案：D9.如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA相等的向量有CB，DO，EF，共3个．答案：310．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则＝________．解析：由题设可得CA＋AM＝3(AB－AM)，即4AM＝3AB＋AC，亦即AM＝AB＋AC，则x＝，y＝.故＝3.答案：311．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得答案：212．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，因为DE＝λ1AB＋λ2AC，所以λ1＝－，λ2＝，因此λ1＋λ2＝.答案：[B级能力提升]13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE＝λAB＋μAD(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.B.C．1D.解析：DE＝DA＋DO＝DA＋DB＝DA＋(DA＋AB)＝AB－AD，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝.答案：A14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(1，]D．(－1，0)解析：设OC＝mOD，则m>1，因为OC＝λOA＋μOB，所以mOD＝λOA＋μOB，即OD＝OA＋OB，又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1.答案：B15．如图所示，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△ABC与△AOC的面积之比为________．...
