第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、填空题1．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是________．解析全称命题的否定是存在性命题．答案∃x∈R，sinx≥22．命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题(填“真”“假”之一)．解析原命题的否命题是“若实数a满足a>2，则a2≥4”，这是一个真命题．答案真3．已知命题p：∃x∈R，使ax2＋2x＋1<0.当a∈A时，綈p为真命题，则集合A＝________．解析綈p：∀x∈R，使ax2＋2x＋1≥0.若此命题为真命题，则即a≥1，从而所求集合A＝{a|a≥1}．答案{a|a≥1}4．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则a的取值范围是________．解析当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意得解得－8≤a<0，所以－8≤a≤0.答案[－8,0]5．已知命题p：|x－1|>2，命题q：x∈Z，则满足“p∨q”与“綈p”同时为真命题的x取值为________．答案－1,0,1,2,36．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋x＋m＝0必有实数根．____________________________________________________；(2)对任意角α∈R，都有sin2α＋cos2α＝1.__________________________________________________；(3)存在一个四边形，它的对角线相等．_________________________________________________；(4)正方形的对角线互相垂直平分．________________________________________________.答案(1)存在m∈R，使方程x2＋x＋m＝0无实数根．是真命题．(2)存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.是假命题．(3)对任意的四边形，它们的对角线不相等．是假命题．(4)存在这样的正方形，它的对角线不互相垂直或不互相平分．是假命题．7．命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0)与(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，则下列说法：①“p或q”是真命题；②“p或q”是假命题；③綈p为假命题；④“綈p∧q”是假命题，其中正确的说法序号是________．解析因为p，q均为假命题，所以②④说法正确．1答案②④8．给出下列三个命题：①∀x∈R，x2>0；②∃x∈R，使得x2≤x成立；③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M，且x∈N.其中真命题的个数是________．解析取x＝0，得x2＝0，①不正确；取x＝，得②正确；③正确，故真命题的个数为2.答案29．下列四个命题：①∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数；②∃x∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数；③∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数；④∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数，其中是真命题的序号是________．解析当m＝0时，函数f(x)＝x2是偶函数．答案①10．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．解析“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.答案－4≤m≤0二、解答题11．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.解(1)綈p：∃x0∈R，x－x0＋<0，假命题．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．12．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1(1)∃x∈R，使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)∀x∈R，使f(x)≥b·g(x)，求实数b的取值范围．解(1)由∃x∈R，f(x)＜b·g(x)，得∃x∈R，x2－bx＋b＜0，所以Δ＝(－b)2－4b＞0，解得b＜0或b＞4，即实数b的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．(2)由∀x∈R，f(x)≥b·g(x)，得∀x∈R，x2－bx＋b≥0，所以Δ＝(－b)2－4b≤0，解得0≤b≤4.即实数b的取值范围是[0，4]．13．已知a、b、c、d均为实数，且2bd－c－a＝0.命题p：关于x的二次方程ax2＋2bx＋1＝0有实根；命题q：关于x的二次方程cx2＋2dx＋1＝0有实根；求证：“p或q”为真命题．证明由ax2＋2bx＋1＝0，得Δ1＝4b2－4a，由cx2＋2dx＋1＝0，得Δ2＝4d2－4c，又 2bd－c－a＝0，∴a＋c＝2bd.∴Δ1＋Δ2＝4[b2＋d2－(a＋c)]2＝4(b2＋d2－2bd)＝4(b－d)2≥0.即Δ1、Δ2中...
