第二课时简单的三角恒等变换A级·基础过关|固根基|1.的值为()A．1B．－1C．D．－解析：选D原式＝＝＝－.2．(2019届成都模拟)已知tanα＝，tan＝，则m＝()A．－6或1B．－1或6C．6D．1解析：选A由题意知，tanα＝，tan＝＝，则＝，∴m＝－6或1，故选A．3．已知2tanαsinα＝3，α∈，则cos的值是()A．0B．C．1D．解析：选A由2tanαsinα＝3，得＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，∴cosα＝或cosα＝－2(舍去)．∵－<α<0，∴α＝－，∴cos＝cos＝0.4．已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β等于()A．B．或C．D．2kπ＋(k∈Z)解析：选C由sinα＝，cosβ＝，且α，β为锐角，可知cosα＝，sinβ＝，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.又0<α＋β<π，故α＋β＝.5．(2019届福州市高三期末)若2sinx＋cos＝1，则cos2x＝()A．－B．－C．D．－解析：选C因为2sinx＋cos＝1，所以3sinx＝1，所以sinx＝，所以cos2x＝1－2sin2x＝.故选C．6．若α是第二象限角，且sinα＝，则1－2sin·sin＝()A．－B．－C．D．解析：选C因为1－2sinsin＝1－2cos2＝－cosα，又sinα＝，且α是第二象限角，所以cosα＝－，所以1－2sinsin＝.故选C．7．(2019届兰州模拟)计算的值为()A．－2B．2C．－1D．1解析：选D＝＝＝＝＝1.18．设sin＝，且α是第二象限角，则tan的值为________．解析：因为α是第二象限角，所以是第一或第三象限角．①当是第一象限角时，有cos＝＝＝，所以tan＝＝；②当是第三象限角时，与sin＝矛盾，舍去．综上，tan＝.答案：9．(2019届三湘名校联考)函数f(x)＝sin2x＋2cosx在区间[0，π]上的值域为____________．解析：f′(x)＝2cos2x－2sinx＝－2(2sin2x＋sinx－1)＝－2(2sinx－1)(sinx＋1)，当x∈∪时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，∴x＝是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．又∵f＝，f＝－，f(0)＝2，f(π)＝－2，∴f(x)∈.答案：10．(2019届四省八校联考)f(x)＝×(1＋tanx)的最小正周期为________．解析：f(x)＝×(1＋tanx)＝×＝×＝2(cosx＋sinx)＝4sin，则f(x)的最小正周期T＝2π.答案：2π11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin2x－1－cos2x＝2sin－1.∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2，1]．12．(2019届河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝4cos2ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的部分图象如图所示，H为图象的最高点，E，F是图象与直线y＝的交点，且EH·EF＝EH2.(1)求ω的值及函数的值域；(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋2)－的值．解：(1)函数化简得f(x)＝2cos2ωx＋2sin2ωx＋＝4sin＋.2由题意可知|EF|＝.因为EH·EF＝EH2，所以EH·(EH＋HF)＝EH2，所以EH·HF＝0，所以HF⊥HE，所以△EFH是等腰直角三角形．又因为点H到直线EF的距离为4，所以|EF|＝8，所以函数f(x)的周期T＝16.所以2ω＝，即ω＝，函数f(x)的值域是[－4＋，4＋]．(2)由(1)，知f(x)＝4sin＋，因为f(x0)＝，所以sin＝－.因为x0∈，所以x0＋∈，所以cos＝，所以f(x0＋2)－＝4sin＝4sin＝4sincos＋4cossin＝4××＋4××＝.B级·素养提升|练能力|13.(2019届长春市高三第一次质量监测)函数f(x)＝3sinx＋cosx的最大值为()A．B．2C．2D．4解析：选C由题意，可知f(x)＝3sinx＋cosx＝2sin，所以函数的最大值为2，故选C．14．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x(x∈R)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数解析：选D∵f(x)＝(1＋cos2x)(1－cos2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x)，∴f(－x)＝[1－cos(－4x)]＝(1－cos4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为的偶函数，故选D．15．已知tan2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为()A．－B．－C．－D．－解析：选A由tan2α＝，即＝，得tanα＝或tanα＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα＝2cosxsinα－2sinα≥0恒成立，所以sinα≤0，∴tanα＝－3，∴sinα＝－，cosα＝，所以sin＝sinαcos－cosαsin＝－，故选A．16．设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tan＝________．解析：∵a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，a⊥b，∴2cosα－sinα＝0，∴tanα＝2，∴tan＝＝＝.答案：34
