1.1教材解读一、分类加法计数原理1．原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有Nmn种不同的方法．2．特点：两类方案中的任何一类的任何一种方法都可以完成这件事，并且两类方案中所有方法互不相同．3．一般结论：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有1m种不同的方法，在第2类方案中有2m种不同的方法，…，在第n类方案中有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法．4．注意事项：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，即做到“不重不漏”，才能用分类计数原理．二、分步乘法计数原理1．原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法．那么完成这件事共有Nmn种不同的方法．2．特点：两个步骤缺一不可，并且经过两个步骤恰好完成这件事．3．一般结论：完成一件事需要n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法．4．注意事项：在分步乘法计数原理中，完成一件事分为若干个有联系的步骤，只有前一个步骤完成后，才能进行下一个步骤．当各个步骤都依次完成后，这件事才算完成．但每个步骤中可以有多种不同的方法，而这些方法之间是相互独立的．三、区别与联系1．区别：在分类计数中，完成一件事，每一类中的每一种方法都可以达到目的，即都可以完成这件事．在分步计数中，完成一件事，只有各个步骤都完成，才算完成此事．2．联系：（1）都是探讨完成一件事情的方法种数，即计数问题．（2）两个原理在处理问题时相互交织、互相渗透．四、典例分析１．明确题目要完成什么事情，如何去完成例1甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书．（1）若借一本书，则有多少种不同的借法？（2）若每科各借一本，则有多少种不同的借法？（3）若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？解：（1）因为需完成的事情是“借一本”书，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情．故用分类加法计数原理，共有5+4+3=12种不同的借法；（2）需完成的事情是“每科各借一本”书，意味着要借给乙3本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情，故用分步乘法计数原理，共有5×4×3=60种不同的借法；（3）需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：①借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理，知有5×4=20种借法；②借一本数学书和一本化学书，同理由分步乘法计数原理，知有5×3=15种借法；用心爱心专心③借一本物理书和一本化学书，同理由分步计数原理，知有4×3=12种借法．而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理，知共有20+15+12=47种不同的借法．2．“类与类”之间相互独立且并列，分类过程不重不漏例2用4种不同的颜色对右图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能同色，则共有多少种不同的涂色方法？解：由题意知，必有两个区域涂相同的颜色，从图形的形状可知1与3；1与5；2与5；3与5的区域可涂相同的颜色．这样可将问题分成四类，每一类均有4×3×2×1=24种涂色方法．所以共有4×24=96种涂色方法．3．“步与步”之间相依且连续，但不能交叉重复例3从3名男生，2名女生中选3名同学参加代表大会，要求3名同学的性别不全相同，有多少种选法？解：第一类：有1名女生，2名男生，选法为2×3=6（种）；第二类：有2名女生，1名男生，选法为1×3=3（种）．所以共有6+3=9种选法．五、特别提示1．理解分类加法计数原理，要注意以下三点：（1）清楚完成“一件事”的含意，即知道做“一件事”，或完成一个“事件”在每个题中的具体所指；（2）解决“分类”问题用分类加法计数原理．需要分类的事件不妨叫做“独立事件”，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B就可以完...
