1.4.3正切函数的性质与图象A级基础巩固一、选择题1．下列说法错误的是()A．正切函数是周期函数，最小正周期为πB．正切函数的图象是不连续的C．直线x＝kπ＋(k∈Z)是正切曲线的渐近线D．把y＝tanx，x∈的图象向左、右平移移动kπ个单位，就得到y＝tanx的图象解析：正切函数是周期函数，周期为kπ(k∈Z)，最小正周期为π；正切曲线是由相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)(称为渐近线)所隔开的无穷多支曲线组成的，故A、B、C均正确，故选D.答案：D2．在区间上，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：法一在同一平面直角坐标系中，先作出函数y＝sinx与y＝tanx在上的图象，当x∈时，有sinxsinx，y＝2sinx，排除C.答案：D5．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是()A．－B.C．－D.解析：因为图象过点，所以0＝tan.所以tan＝0.所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，所以φ可以是－.答案：A二、填空题6．(1)函数y＝tan，x∈的值域是________；(2)函数y＝tan2x－2tanx的值域为________．解析：(1)因为x∈，所以＋∈，所以tan∈(1，)．(2)令u＝tanx，因为|x|≤，所以由正切函数的图象知u∈[－，]，所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，因为二次函数y＝u2－2u图象开口向上，对称轴方程为u＝1，所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，所以原函数的值域为[－1，3＋2]．答案：(1)(1，)(2)[－1，3＋2]7．－tan与tan的大小关系是_________________．解析：－tan＝－tan，tan＝－tan＝－tan.因为0＜＜＜＜π，所以tan＞0，tan＜0，所以－tan＜－tan，即－tan＜tan.答案：－tan＜tan8．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．其中正确说法的序号是________．解析：①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tanx，此时，f(x)为奇函数，所以①错；观察正切函数y＝tanx的图象，可知y＝tanx的图象关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝(k∈Z)，得x＝－φ(k∈Z)，分别令k＝1，2，可得x＝－φ，π－φ，故②、③正确，④显然正确．答案：②③④三、解答题9．已知函数f(x)＝3tan.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f(π)与f的大小．解：(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，所以T＝＝＝4π.由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．因为y＝3tan在(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝－3tan在(k∈Z)内单调递减．故原函数的最小正周期为4π.单调递减区间为(k∈Z)．(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，f＝3tan＝3tan＝－3tan，因为0＜＜＜，且y＝tanx在上单调递增，所以tan＜tan，所以－3tan>－3tan，所以f(π)＞f.10．作出下列函数的图象：(1)y＝tan|x|；(2)y＝.解：(1)y＝tan|x|＝其图象如下．(2)用“三点两线法”作函数y＝tan的图象，再保留x轴上方的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，得到函数y＝的图象，如图所示的实线部分即为所求作的图象．B级能力提升1．若f(n)＝tan(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)＝()A．－B.C．0D．－2解析：由题意可知，T＝＝3，f(1)＝，f(2)＝－，f(3)＝0⇒f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，故f(1)＋f(2)＋……＋f(2017)＝672×0＋f(1)＝.答案：B2．若函数y＝tan(a≠0)的最小正周期为，则a＝________．解析：因为＝，所以|a|＝，所以a＝±.答案：±3．设函数f(x)＝asin和φ(x)＝btan，k＞0，若它们的最小正周期之和为，且f＝φ，f＝－φ＋1，求f(x)，φ(x)的解析式．解：因为f(x)的最小正周期为，φ(x)的最小正周期为，由已知得＋＝，所以k＝2.所以f(x)＝asin，φ(x)＝btan.因为所以所以所以所以f(x)＝sin，φ(x)＝tan.
