课后限时集训31平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时：45分钟一、选择题1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为()A.B．－C.D．－D[ a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)． λa＋b与b垂直，∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.]3．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则|a－b|＝()A.B.C．2D.A[因为|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝.故选A.]4.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算AB·AD＝()A．10B．11C．12D．13B[以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，AB＝(4,1)，AD＝BC＝(2,3)，∴AB·AD＝4×2＋1×3＝11，故选B.]5．(2019·银川模拟)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是()A.∪B.C．(－∞，－2)∪D.C[不妨令i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a·b＝1－2λ＞0且a，b不共线，所以λ＜且λ≠－2，故选C.]6．(2019·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2,4)＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选C.]7．(2019·宝鸡模拟)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则CP·CB＋CP·CA＝()A．0B．1C.D．－B[以点C的坐标原点，分别以CA，CB的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P，所以CP·CB＋CP·CA＝CP·(CB＋CA)＝＋＝1.故选B.]二、填空题8．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正弦值为________．[ a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝.]9．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．－[ |a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.]10．(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝________.－1[法一： ∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又EA＝EB，∴∠EAB＝30°，在△EAB中，AB＝2，∴EA＝EB＝2.以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,0)，D(5,0)，E(1，)，B(3，)，∴BD＝(2，－)，AE＝(1，)，∴BD·AE＝(2，－)·(1，)＝－1.法二：同法一，求出EB＝EA＝2，以AB，AD为一组基底，则BD＝AD－AB，AE＝AB＋BE＝AB－AD，∴BD·AE＝(AD－AB)·＝AD·AB－AB2＋AB·AD－AD2＝×5×2×－12－×25＝－1.]1．(2018·石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.B.C.D.A[法一：由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥b.将|a－b|＝2|b|两边平方，得|a|2－2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为，故选A.法二： |a＋b|＝|a－b|，∴a⊥b.在四边形ABCO中，设|OC|＝|b|＝1，|a＋b|＝2|b|＝2，∴|a|＝，∴〈a＋b，a〉＝∠BOA，∴在Rt△OBC中，∠BOA＝.]2．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋c)·(2b－c)的最小值为()A．－2B．－C．－1D．0B[因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.不妨设a＝(1,0)，b＝，c＝(cosθ，sinθ)，则(a＋c)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cosθ＋2...
