命题角度2一般数列的通项公式与前n项和的求解1．已知数列，，为数列的前项和，，，（）（1）求数列的通项公式；（2）证明为等差数列；（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求.【答案】（1）（2）见解析（3）试题解析：（1）当时，当时，，综上，是公比为2，首项为2的等比数列，（2）∵，∴，∵，∴综上，是公差为1，首项为1的等差数列，.（3）令①②，得点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.2.2.已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，设的前项和为，求证：．【答案】（I）;（Ⅱ）证明过程见解析；（Ⅱ）3.已知数列，满足，，且.（1）令，求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式及前项和公式.【答案】（1）（2），【解析】试题分析：（1）两式相加得，即，根据等差数列定义及通项公式得（2）两式相减得，根据等比数列定义及通项公式得，又，解方程组得，最后根据分组求和得试题解析：解：（1）由题设得，即，易知是首项为，公差为的等差数列，通项公式为（2）由题设得，令，则，易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为解得求和得考点：等差数列及等比数列定义及通项公式，分组求和4.已知等差数列单调递增，且，都在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式和前项和为；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】：（Ⅰ）；（Ⅱ）．或．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．所以（1）当为偶数时，（2）当为偶数时，由（1）知，．综上，．或．【命题意图】本题主要考查等差数列的基本运算，数列前项和的求解、数列的单调性、数列与函数的关系和函数与方程的思想、分类讨论的数学思想以及基本的运算能力等．5.已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）证明：数列是等比数列，求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）可利用来消去化简条件式，得到，从而再构造数列即可；（Ⅱ）列项相消法是数列求和的常用方法.试题解析：（Ⅰ）由，得，当时，，即，所以，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则．6.现有正整数构成的数表如下：第一行：1第二行：12第三行：1123第四行：11211234第五行：1121123112112345………………第行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行,...,直至按原序抄写第行，最后添上数.（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第个数记作（如）（1）用表示数表第行的数的个数，求数列的前项和；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用表示第8行中的第73个数，试求和的值；若不是，请说明理由；（3）令，求的值.【答案】.（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）根据题意可以写出当时，，，于是，即，所以，故；（2）根据，第8行中共有个数，所以，第8行中的数超过73个，所以，从而，，由，，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第个数，同上过程知，所以，.（3）由于数表的前行共有个数，于是，先计算.在前个数中，共有1个，2个，个，……，个，……，个1，因此，则，两式相减，得.（2）由得第8行中共有个数，所以，第8行中的数超过73个，，从而，，由，，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第个数，同上过程知，所以，.（3）由于数表的前行共有个数，于是，先计算.在前个数中，共有1个，2个，个，……，个，……，个1，因此，则，两式相减，得.点睛：此类问题主要考查考生的推理能力，需要考生对题干上给的信息理解透彻，进而推理出相关关系式，得出正确的结论。在求时首先需要求出是第几行的第几个数，进而可以求出。
