5.5.2简单的三角恒等变换[A基础达标]1．已知sin2α＝，则cos2＝()A．－B．－C.D.解析：选D.cos2＝＝＝.2．若cos2α＝－，且α∈，则sinα＝()A.B.C.D．－解析：选A.因为α∈，所以sinα≥0，由半角公式可得sinα＝＝.3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选B.设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cosα＝.又β＝－，所以cosβ＝cos＝sin＝＝，故选B.4．若α∈，则－等于()A．cosα－sinαB．cosα＋sinαC．－cosα＋sinαD．－cosα－sinα解析：选D.因为α∈，所以sinα≥0，cosα≤0，则－＝－＝|cosα|－|sinα|＝－cosα－sinα.5．(2019·贵州遵义航天高级中学月考)函数f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值为()A．1B．－1C.D．－解析：选D.由题意，得f(x)＝cos2x－2cos2＝cos2x－(1＋cosx)＝cos2x－cosx－1，设t＝cosx(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1，1]，y＝t2－t－1＝－，所以当t＝，即x＝时，y取得最小值，为－，所以函数f(x)的最小值为－，故选D.6．已知sin－cos＝，则cos2θ＝________．解析：因为sin－cos＝，所以1－sinθ＝，即sinθ＝，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－＝.答案：7．已知sin＝，则cos2＝________．解析：因为cos＝sin＝sin＝，所以cos2＝＝＝.答案：8．若3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．解析：因为3sinx－cosx＝2＝2sin，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.答案：－9．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝，求tan的值．解：因为sin(270°＋α)＝，所以cosα＝－.又180°<α<270°，所以90°<<135°.所以tan＝－＝－＝－3.10．化简：(0<α<π)．解：因为tan＝，所以(1＋cosα)tan＝sinα.又因为cos＝－sinα，且1－cosα＝2sin2，所以原式＝＝＝－.因为0<α<π，所以0<<.所以sin>0.所以原式＝－2cos.[B能力提升]11．已知cos·cos＝，θ∈，则sinθ＋cosθ的值是()A.B．－C．－D.解析：选C.cos·cos＝sincos＝sin＝cos2θ＝.所以cos2θ＝.因为θ∈，所以2θ∈，所以sin2θ＝－，且sinθ＋cosθ＜0.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝1－＝.所以sinθ＋cosθ＝－.12．已知sin2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．解析：＝＝＝＝.因为sin2θ＝，0＜2θ＜，所以cos2θ＝，所以tanθ＝＝＝，所以＝＝，即＝.答案：13．已知函数f(x)＝sin－2sin2x.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的最大、最小值．解：f(x)＝sin2x－cos2x－2·＝sin2x＋cos2x－＝sin－.(1)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)．所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是(k∈Z)．(2)当0≤x≤时，≤2x＋≤，－≤sin≤1，所以当x＝时，f(x)取最小值－，当x＝时，f(x)取最大值1－.[C拓展探究]14．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？解：如图所示．因为AB为半圆的直径，所以∠APB＝，又AB＝1，所以PA＝cosα，PB＝sinα.又PT切半圆于P点，所以∠TPB＝∠PAB＝α，所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sinα＝sinαcosα＋sin2α＝sin2α＋(1－cos2α)＝sin＋.因为0＜α＜，所以－＜2α－＜，所以当2α－＝，即α＝时，S四边形ABTP取得最大值＋.
