20三角函数三角函数的概念【考点讲解】一、具本目标：1.了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化；2.会判断三角函数值的符号，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；考点分析：高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．近几年的高考试题，主要考查以下两个直接利用任意角三角函数的定义求三角函数值，或者根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．二、知识概述：1.任意角：（1)角的分类：任意角可按旋转方向分为正角、负角、零角.（2)象限角.第一象限角的集合为，Z第二象限角的集合为，Z第一象限角的集合为，Z第一象限角的集合为，Z（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．4.三角函数的定义1）任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.3）三角函数线：设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.利用三角函数线可以判断角的三角函数值的符号或比较角的大小.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线5.扇形的弧长及面积公式弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.【真题分析】1．（2016布高期中测试）下面四个命题中正确的是（）（A）第一象限角必是锐角（B）锐角必是第一象限角（C）终边相同的角必相等（D）第二象限的角必大于第一象限的角【答案】B2.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为.A.1B.2C.3D.4【解析】由题意可得：，，所以正确选项是C.【答案】C3．（宁夏，海南）已知命题，，则（）A.，是真命题B.，是真命题C.，是假命题D.，是假命题【答案】C4【2017山东高三测试】下列说法中正确的是()A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等【解析】本题考查的是象限角，由象限角的范围可以直接判断，本题可用特殊角来判断选项的正确与错误.比如：－330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．【答案】C.5.已知θ为第二象限角，那么是（）A.第一或第二象限角B.第一或四象限角C.第二或四象限角D.第一、二或第四象限角【解析】本题是通过给定角的象限情况，来判断此角的整数倍可整分后的角的位置问题.法一：已知θ为第二象限角，所以有，得到，讨论：，此时位于第一象限；，此时位于第二象限；，此时位于第四象限；法二：可以用单位圆来画分角位于的象限：二一二三四一一二三三四四由图可知位于一、二、四象限.【答案】D.【变式】设角属于第二象限，且，则角属于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C.6.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A.πB．－πC.πD．－π【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.故选B.答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
