2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分)1．半径为r的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.πr3B.πr3C.πr3D.πr3解析：设底面半径为r′，则2πr′＝πr，∴r′＝.∴圆锥的高h＝＝r.∴V锥＝πr′2×h＝π××r＝πr3.答案：C2．在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是()A.B.C.D.解析：V正方体－8V三棱锥＝1－8×××××＝，故选D.答案：D3．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，主视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A．4，8B．4，C．4(＋1)，D．8,8解析：由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为＝，所以S侧＝4×＝4，V＝×22×2＝.答案：B4．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为()A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4解析：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh.VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝Sh－－＝Sh.∴体积之比为1∶2∶4.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则有πrl＝15π，知r＝3，∴h＝＝4.∴其体积V＝Sh＝πr2h＝×π×32×4＝12π.答案：12π6．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析：设AC＝a，CC1＝b，则BD2＝DC＝a2＋b2，∴×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又×＝6，∴a2＝8，b2＝16，∴V＝×8×4＝8.答案：8三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，正三棱锥O－ABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．解析：由已知条件可知，正三棱锥O－ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，经计算得底面△ABC的面积为.所以该三棱锥的体积为××1＝.设O′是正三角形ABC的中心．由正三棱锥的性质可知，OO′垂直于平面ABC.延长AO′交BC于D，得AD＝，O′D＝.又因为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD＝.故侧面积为×2××3＝2.所以该三棱锥的表面积为＋2＝3.因此，所求三棱锥的体积为，表面积为3.8．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，求V1∶V2.解析：通过点D，E，F为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以及高之间的关系，然后利用体积公式得到体积之间的比值．设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F－ADE的高等于h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝×S×h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.☆☆☆9．(10分)如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？解析：因为圆锥形铅锤的体积为×π×2×20＝60π(cm3)，设水面下降的高度为xcm，则小圆柱的体积为π2x＝100πx.所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6，故杯里的水将下降0.6cm.
