第3讲平面向量专题复习检测A卷1．已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝()A．3B．－3C．D．－【答案】B2．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝0【答案】D3．在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A．B．2C．5D．10【答案】C4．(2019年山东模拟)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为()A．1B．C．D．【答案】D【解析】由a⊥(a－b)，可得a·(a－b)＝a2－a·b＝0，所以a·b＝a2＝1.所以向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝.故选D．5．(2019年湖南怀化模拟)在△ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BD＝λDC，CE＝AB＋μAC，则λ＋μ＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】如图所示，由BD＝λDC，可得AD－AB＝λ(AC－AD)，则AD＝AB＋AC.又E是AD的中点，所以CE＝CA＋AE＝－AC＋AD＝AB＋AC.又CE＝AB＋μAC，AB，AC不共线，所以＝，＝μ，解得λ＝，μ＝－，则λ＋μ＝－.故选B．6．(2017年新课标Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.【答案】2【解析】|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，∴|a＋2b|＝＝2.7．(2019年新课标Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.【答案】【解析】a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，则|c|＝3.所以cos〈a，c〉＝＝.8．(2018年内蒙古呼和浩特一模)在△ABC中，AB＝，BC＝2AC＝2，满足|BA－tBC|≤|AC|的实数t的取值范围是________．【答案】【解析】由题意，得AC＝1，cos〈BA，BC〉＝＝＝.由|BA－tBC|≤|AC|，得BA2－2t|BA||BC|cos〈BA，BC〉＋t2BC2≤3AC2，即3－2t×2×＋4t2≤3，解得0≤t≤.9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)求|a＋b|的值；(2)当(a＋2b)⊥(ka－b)时，求k的值．【解析】(1)由已知，得a·b＝4×8×＝－16， |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.(2) (a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0.∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.10．已知向量a＝(cosx,2cosx)，b＝(2cosx，sinx)，函数f(x)＝a·b.(1)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；(2)当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．【解析】(1) f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinxcosx＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1，∴g(x)＝sin＋1＝sin＋1.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2) a≠0，a与b共线，∴cosx≠0.∴sinxcosx－4cos2x＝0.∴sinx＝4cosx，tanx＝4.则f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＝＝＝.B卷11．(2017年新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是()A．－2B．－C．－D．－1【答案】B【解析】如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA所在直线为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．设P(x，y)，则PA＝(－x，－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，∴PB＋PC＝(－2x，－2y)，PA·(PB＋PC)＝2x2－2y(－y)＝2x2＋22－≥－，当x＝0，y＝，即P时，PA·(PB＋PC)有最小值－.12．(2018年四川成都模拟)已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，|AB|＝2，OC＝OA－OB.若M是线段AB的中点，则OC·OM的值为()A．3B．2C．－2D．－3【答案】A【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，OM＝，AB＝(x2－x1，y2－y1)．∴OC＝OA－OB＝.由|AB|＝2，得(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝4.①又A，B在圆O上，∴x＋y＝4，x＋y＝4.②联立①②得x1x2＋y1y2＝2，∴OC·OM＝·，化简得(x＋y)－(x＋y)＋(x1x2＋y1y2)＝×4－×4＋×2＝3.13．(2019年浙江)已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|的最小值是________，最大值是________．【答案】02【解析】由正方形ABCD的边长为1，可得AB＋AD＝AC，BD＝AD－AB，AB·AD＝0，∴|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4...
