高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3-2.3.2 平面与平面垂直的判定练习 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角()A．相等B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.答案：C3．如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°.答案：A4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.答案：D5．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：①若l垂直于平面α内两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内所有直线；③若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β.其中正确的是()A．①②④B．①④C．②③D．②④解析：①④是线面垂直、面面垂直的判定定理，故均正确．l∥α，则l与α内的直线可能平行，也可能异面，故②不正确．两个平面平行时，分别在两平面内存在相互垂直的直线，故③不正确．答案：B二、填空题6.如图所示，在正四面体PABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面PAE与平面ABC的位置关系是________．解析：因为PB＝PC，E是BC的中点，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.又BC⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC.答案：垂直7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.答案：45°8.如图所示，在三棱锥SABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝，则二面角SBCA的大小为________．解析：如图所示，取BC的中点O，连接SO，AO.因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角SBCA的平面角．在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1·sin60°＝.同理可求SO＝.又SA＝，所以△SOA是等边三角形，所以∠SOA＝60°，所以二面角SBCA的大小为60°.答案：60°三、解答题9.(2014·北京卷)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E是A1C1的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求三棱锥EABC的体积．(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.因为AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)解：因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.所以三棱锥EABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.10．如图所示，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．(1)证明SO⊥平面ABC；(2)求二面角ASCB的余弦值．(1)证明：如图所示，由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA.连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝SA，且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO＝SA.从而OA2＋SO2＝SA2，所以△SOA为直角三边形，SO⊥AO.又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC.(2)解：取SC的中点M，连接AM，OM.由(1)知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC.所以∠OMA为二面角ASCB的平面角．由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，得AO⊥平面SBC.所以AO⊥OM.又AM＝SA，AO＝SA，故sin∠AMO＝＝＝.所以二面角ASCB的余弦值为.B级能力提升1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥...