课时跟踪检测(二十一)圆锥曲线中的最值、范围问题A卷1．(2019·安徽亳州联考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)与过点M(a,0)(a>0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB.(1)确定p与a的数量关系；(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围．解：(1)设l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去x得y2－2pty－2pa＝0.∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，∴a2－2pa＝0.∵a>0，∴a＝2p.(2)由(1)可得|AB|＝|y1－y2|＝2p·.|AM|·|MB|＝AM·MB＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－a2－y1y2＝a·－a2＝4p2(1＋t2)．∵|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，∴a·2p＝λ·4p2(1＋t2)，∴λ＝＝.∵t2≥0，∴λ∈(1,2]．2．(2019·陕西西安中学高三月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆过点(2，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，已知P(2,1)，求△PAB面积的最大值．解：(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2.∵椭圆过点(2，0)，∴a2＝8，b2＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设l的方程为y＝x＋m，代入椭圆方程中整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0，∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.又∵Δ＝4m2－4(2m2－4)>0，∴m2<4，则|AB|＝，P点到直线l的距离d＝，∴S△PAB＝··＝≤＝2.当且仅当m2＝2，即m＝±时取得最大值2.B卷1．(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足OA＋OB＝tOP，其中t∈，求|AB|的取值范围．解：(1)依题意得解得∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)．由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k2)>0，解得k2<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由OA＋OB＝tOP得P，代入椭圆C的方程得t2＝.由b>0)，椭圆的长轴的右端点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率为.(1)求椭圆C1的标准方程；(2)过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过点F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于点E，求△ABE的面积的最小值，以及取得最小值时直线l的方程．解：(1)易知F(2,0)．因为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，椭圆的长轴的右端点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，所以a＝2.又椭圆C1的离心率为，所以c＝，b＝1，所以椭圆C1的标准方程为＋y2＝1.(2)设过点F(2,0)的直线l的方程为x＝my＋2，点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，由得y2－8my－16＝0，易知Δ>0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，所以|AB|＝·＝8(1＋m2)．设过点F且与直线l垂直的直线方程为y＝－m(x－2)，点E(xE，yE)，由得(1＋4m2)x2－16m2x＋16m2－4＝0，易知Δ>0，所以xE＋2＝，故xE＝，所以|EF|＝|xE－2|＝·，△ABE的面积S＝|AB|·|EF|＝·.令＝t(t≥1)，记函数f(t)＝，则f′(t)＝.令f′(t)＝0，则t2＝，当1≤t2<时，f′(t)<0，为减函数；当t2>时，f′(t)>0，为增函数，所以易知当1＋m2＝时，△ABE的面积最小，即当m＝±时，△ABE的面积最小，最小值为9，此时l的方程为2x±y－4＝0.
