高考数学 黄金100题系列 第07题 分段函数 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第7题分段函数I．题源探究·黄金母题【例1】已知函数，求，，的值．【解析】，，，精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第45页B组第4题【母题评析】本题以分段函数为载体，考查函数的求值问题．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到既考查运算能力与及分类讨论思想的应用的目的．【思路方法】考察自变量的值与分段函数每一段函数的定义域关系，正确选用解析式．如果自变量以参数形式出现，注意考虑分类讨论思想的应用．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017新课标3理15】设函数则满足的x的取值范围是_________．【答案】【解析】令，当时，，当时，，当时，，写成分段函数的形式：【命题意图】本类题考查分段函数的求值【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往与分段函数的求值、分段函数的性质、分段函数图象及应用、分段函数与其它知识（不等式、方程、程序框图等）知识的交汇或综合．【难点中心】分段函数也是函数，因此主要也是要关心它的图象与性质，以及图象与性质的应用．其难点主要体现在：（1）函数的求值问题必须考虑自变量的所属范围，无法判断时须利用分类讨论思想解决；（2）分段函数的图象画法，因为它的每一段多数由基本初等函数构成，处理分界点的图象是一个难点，当函数是非基本函数图象时，常，函数在区间三段区间内均单调递增，且，据此x的取值范围是：．【例3】【2017江苏14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是▲．【答案】8【解析】解法一：由于则需考虑的情况，在此范围内，时，设，且互质．若，常要联系其它知识来作（如利用导数）；（3）求解分段函数的性质中的参数问题，常常要用到数形结合法、分裂参数法、构造法等数学方法来解决．则由，可设，且互质．因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此．因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．解法二：是有理数集，∴自变量，所对应的函数值都为有理数，且在函数上对应的空心点函数值也为有理数，令等于这些函数值与空心点函数值所求得在区间内皆为无理数，故不能与函数上所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案为8个．【例4】【2017天津理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A．解法一：①当时，函数对称轴左侧图象的斜率为，故对称轴左侧图象与无交点，要使关于x的不等式在R上恒成立，则在上恒成立．由均值不等式可得，当且仅当，即（负值舍去）时取最小值，．②当时，符合题意；③当时，必须满足当时，的对称轴左侧图象恒在下方（至多相切），当时，取最小值．综上可得，故选A．解法二：不等式为（*）当时，（*）式即为，又（时取等号），（时取等号），．当时，(*)式为又（当时取等号），（当时取等号），，综上，故选A．III．理论基础·解题原理考点一分段函数的概念（1）定义：在函数的定义域内，对于自变量不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数．函数的解析式中的绝对值含有未知数，此函数实质上也是分段函数．（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集．（3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．考点二分段函数图象（1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的．（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心．考点三分段函数的性质1．分段函数的单调性：判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如...