第1课时椭圆及其性质[基础题组练]1．焦点在x轴上的椭圆＋＝1(m>0)的焦距为4，则长轴长是()A．3B．6C．2D.解析：选C.因为椭圆＋＝1(m>0)的焦点在x轴上，所以m＞1，则a2＝m，b2＝1，所以c＝＝，由题意可得2＝4，即m＝5.所以a＝.则椭圆的长轴长是2.故选C.2．(2019·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是()A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1解析：选B.因为a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.3．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．4B．6C．8D．12解析：选A.由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.4．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析：选B.由题可知点P的横坐标是－c，代入椭圆方程，有＋＝1，得y＝±.又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，化简得4c2＋ac－3a2＝0，即4e2＋e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．5．(2019·辽宁大连模拟)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选C.由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.6．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.答案：＋＝17．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．答案：(3，)8．(2019·安徽滁州模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2.又e＝＝＝，所以0b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.(1)若e＝，求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且
