高考数学一轮复习 不等式选讲 第1节 绝对值不等式课时分层训练 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

课时分层训练(五十七)绝对值不等式1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．(1)求m＋n的值；(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.[解](1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，得1≤x≤2，3分∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.5分(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.10分2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．[解]当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；当a＜－1时，f(x)＝3分f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，解得a＝－6；5分当a＞－1时，f(x)＝7分f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.9分综上所述，实数a的值为－6或4.10分3．(2017·衡水中学调研)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[解](1)当a＝－3时，不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*)若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为∅.若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}.4分(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|，解得－2－a≤x≤2－a.8分由条件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集，∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0].10分4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.[解](1)f(x)＝当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；当－＜x＜时，f(x)＜2；当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}.5分(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|.10分5．(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数a，b满足：a2＋b2＝2.(1)求＋的最小值m；(2)设函数f(x)＝|x－t|＋(t≠0)，对于(1)中求得的m是否存在实数x，使得f(x)＝成立，说明理由.【导学号：66482489】[解](1)∵2＝a2＋b2≥2ab，∴≥ab(a＞0，b＞0)，则≤1.又＋≥≥2，当且仅当a＝b时取等号，∴＋的最小值m＝2.5分(2)函数f(x)＝|x－t|＋≥＝＝|t|＋≥2.对于(1)中的m＝2，＝1＜2.∴满足条件的实数x不存在.10分6．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.(1)解不等式|x－1|＜f(x)；(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|，所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则x＞－或x＜－，故原不等式的解集为.4分(2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，当且仅当m＝n＝时，等号成立．令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝8分则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.解得a≤.又a＞0，因此0＜a≤.10分