第16讲：分类讨论思想情形之6-10【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一.分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果.四、本讲讲了分类讨论思想情形之6-10,情形6:的抛物线开口方向不确定要分讨论；情形7：一元二次方程的判别式正负不确定要分讨论；情形8：一元二次方程的两根大小不确定要分类讨论；情形9：二次函数的对称轴与区间的位置关系不确定一般要分、、三种情况讨论.；情形10：一元二次方程的根与区间的位置关系不确定要分类讨论.【方法讲评】分类讨论情形6一元二次函数的抛物线的开口方向不确定要分类讨论，分两种情况讨论.【例1】已知函数，其中（Ⅰ）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（Ⅲ）若，恒成立，求的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为，由在处的切线与直线垂直，可知，所以；（Ⅱ）由题意知，函数的定义域为，，的对称轴方程为，所以，，由，可得.所以当时，，，函数单调递增；当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增.因此函数有两个极值点.（iii）当时，，由，可得，当时，，，函数单调递增；当时，，,函数单调递减，所以函数有一个极值点.综上所述，当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，①当时，函数在单调递增，因为，所以时，，符合题意；综上所述，的取值范围是.【点评】（1）由于函数是不是二次函数不确定要分类讨论，分讨论，是二次函数时，开口方向不确定要分类讨论，要分讨论.开口方向确定后，判别式正负不确定要分类讨论，所以本题有三级分类讨论.对学生的逻辑思维能力要求比较高.(2)分类讨论是比较考逻辑思维的，该分类的时候，你没有分类讨论，不该分类讨论时，你分类讨论，都是错误的.对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系.我们要学会思考，学会总结.【反馈检测1】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证:.分类讨论情形7一元二次方程的判别式正负不确定要分类讨论，一般分讨论.【例2】已知函数，．（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数存在两个极值点，，且，证明：．【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，由题意，综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为．（Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，即在有两个不等的实根，，于是，且满足，，，同理可得．，【点评】（1）正负不确定，抛物线与轴的交点个数不确定，所以要分两种情况讨论.（2）对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般规律.【反馈检测2】已知函数，.（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）...
