课时跟踪检测（三十四）同角三角函数的基本关系A级——学考水平达标练1．已知sinα＝，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于()A．－B．－C．D．解析：选A因为α是第二象限的角，所以cosα＝－＝－，则tanα＝＝＝－.2．若α为第二象限角，化简tanα·＝()A．1B．2C．－1D．解析：选Ctanα·＝tanα·＝·.因为α为第二象限的角，所以cosα＜0，sinα＞0，原式＝·＝－1.3．已知tanα＝，α∈，则cosα＝()A．±B.C．－D.解析：选C因为tanα＝，＝，所以sinα＝cosα.又sin2α＋cos2α＝1，代入得2＋cos2α＝1，整理得cos2α＝，解得cosα＝±.又α∈，所以cosα＜0，故cosα＝－.4．已知sinx＋cosx＝，x∈(0，π)，则tanx＝()A．－B．C．D．－解析：选D∵sinx＋cosx＝，且x∈(0，π)，∴1＋2sinxcosx＝1－，∴2sinxcosx＝－<0，∴x为钝角，∴sinx－cosx＝＝，结合已知解得sinx＝，cosx＝－，则tanx＝＝－.5．若β∈[0,2π)，且＋＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是()A.B.C.D.解析：选B∵＋＝|sinβ|＋|cosβ|＝sinβ－cosβ，∴sinβ≥0且cosβ≤0.又∵β∈[0,2π)，∴β∈.故选B.6．已知tanα＝－，则＝________.解析：＝＝＝＝＝＝－.答案：－7．已知α为第二象限角，则cosα＋sinα＝________.解析：原式＝cosα＋sinα＝cosα·＋sinα·.因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以cosα·＋sinα·＝－1＋1＝0，即原式＝0.答案：08．化简：＝________.解析：原式＝＝＝＝＝＝＝＝.答案：9．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.证明：因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，所以＋1＝2，所以＝，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.10．已知＝－1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解：因为＝－1，所以tanα＝.(1)原式＝＝－.(2)原式＝＝＝＝.B级——高考水平高分练1．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为()A．－B．－C．D．解析：选Asin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.2．已知α∈，且＝4，则＝________.解析：∵1＋2sinαcosα＝(sinα＋cosα)2,1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2，∴＝|sinα＋cosα|，＝|sinα－cosα|.又∵α∈，∴sinα＋cosα＞0，sinα－cosα＞0.由题意，得＝4，∴sinα＝2cosα.∴＝＝.答案：3．化简下列各式：(1)；(2)＋.解：(1)原式＝＝＝＝1.(2)原式＝＋＝＋.因为α∈，所以∈.所以cos－sin＞0，sin＋cos＞0，所以上式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.4．已知sinθ＋cosθ＝，且0＜θ＜π.(1)求tanθ的值；(2)求的值．解：(1)∵sinθ＋cosθ＝，①∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，∴2sinθcosθ＝－＜0，∵0∈(0，π)，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ－cosθ＞0，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，∴sinθ－cosθ＝，②由①②得，sinθ＝，cosθ＝－，∴tanθ＝＝－.(2)法一：由(1)知sinθ＝，cosθ＝－，∴＝＝.法二：由(1)得tanθ＝－，∴原式＝＝＝.5．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sinα，cosα是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数m满足条件，由题设得，Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①∵sinα＜0，cosα＜0，∴sinα＋cosα＝－m＜0，②sinαcosα＝＞0.③又sin2α＋cos2α＝1，∴(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝1.把②③代入上式得2－2×＝1，即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.∵m1＝2不满足条件①，舍去；∵m2＝－不满足条件③，舍去．故满足题意的实数m不存在．
