第四篇平面向量(必修4)第1节平面向量的概念及线性运算【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的概念1,10平面向量的线性运算3,5,8,13共线向量问题2,9三点共线问题4,11综合问题6,7,12,14基础对点练(时间:30分钟)1.给出下列命题:①向量与向量的长度相等,方向相反;②+=0;③两个相等向量的起点相同,则其终点必相同;④与是共线向量,则A、B、C、D四点共线.其中不正确的命题的个数是(A)(A)2(B)3(C)4(D)1解析:①正确;②中+=0,而不等于0;③正确;④中与所在直线还可能平行,综上可知②④不正确.故选A.2.“存在实数λ,使得a=λb”,是“a与b共线”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a≠0,b=0,a=λb不成立.3.(2015福州期末)化简-+-+++的结果为(B)(A)(B)(C)(D)0解析:-+-+++=(++++)-(+)=.4.(2015资阳模拟)已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则(B)(A)A,B,C三点共线(B)A,B,D三点共线(C)A,C,D三点共线(D)B,C,D三点共线解析:因为=+=2a+6b=2(a+3b)=2,所以A,B,D三点共线.5.(2015济南校级期中)已知空间四边形ABCD,M,G分别是BC,CD的中点,连接AM,AG,MG,则+(+)等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为G为CD的中点,所以+=2,所以+(+)=+=.6.(2015德阳期末)已知P为△ABC所在平面内一点,且满足=+,则△APB的面积与△APC的面积之比为(A)(A)(B)2(C)(D)3解析:令=,=,则=+,所以四边形ADPE是平行四边形,S△PAD=S△PAE,因为=,所以S△PAE=S△PAC,因为=,所以S△PAD=S△PAB,所以S△PAB∶S△PAC=1∶2.7.(2015高台县校级期末)已知A,B,C三点不在同一条直线上,O是平面ABC内一定点,P是△ABC内的一动点,若-=λ(+),λ∈[0,+∞),则直线AP一定过△ABC的(A)(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解析:如图,取BC的中点D并连接AD,则+=,-=,因为-=λ(+),λ∈[0,+∞),所以=λ,即A,P,D三点共线,又因为AD为BC边上的中线,所以直线AP一定过△ABC的重心.8.(2015黄浦区一模)已知点P,Q是△ABC所在平面上的两个定点,且满足+=0,2++=,若||=λ||,则正实数λ=.解析:因为满足+=0,所以点P是线段AC的中点,因为2++=,所以2=---=2,所以点Q是线段AB的中点,因为||=λ||,所以λ=.答案:9.(2015杨浦区二模)已知e1,e2是不平行的向量,设a=e1+ke2,b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于.解析:a与b共线的充要条件是存在实数λ使得a=λb,所以e1+ke2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2,因为e1,e2是不平行的向量,所以解得k=±1.答案:±110.给出下列命题:①向量的长度与向量的长度相等;②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;④零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是.解析:①与是相反向量,模相等,正确;②由0方向是任意的且与任意向量平行,不正确;③相等向量大小相等、方向相同,又起点相同,则终点相同;④零向量与任意数的乘积都为零向量,不正确.答案:②④能力提升练(时间:15分钟)11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S200=100,A,B,C为平面内三点,点O为平面外任意一点,若=a100+a101,则A,B,C三点(A)(A)共线(B)不共线(C)共线与否和点O的位置有关(D)位置关系不能确定解析:由题意知,S200===100.所以a100+a101=1,根据共线向量定理知A,B,C三点共线.12.(2015浙江镇海中学月考)已知O是三角形ABC所在平面内一定点,动点P满足=+λ(+)(λ≥0),则动点P的轨迹一定过三角形ABC的(D)(A)内心(B)外心(C)垂心(D)重心解析:如图,AD⊥BC,由于||sinB=||sinC=||,所以=+λ(+)=+(+),所以-==(+),因此点P在三角形ABC的中线上,故动点P的轨迹一定过三角形ABC的重心.13.(2015北京海淀期中)如图所示,在△ABC中,D为BC边上的一点,且BD=2DC.若=m+n(m,n∈R),则m-n=.解析:因为BD=2DC,所以=-3,所以=-,=-,所以-=-3(-),所以=-+,则m=-,n=,所以m-n=--=-2.答案:-214.(2015晋江市校级期中)如图,已知△OCB中,B,C关于点A对称,D是将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a,b表示向量,;(2)若=λ,求实数λ的值.解:(1)由题意知A是BC的中点,且=,由平行四边形法则得+=2,则=2-=2a-b,则=-=2a-b-b=2a-b.(2)由题图知∥,因为=-=2a-b-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,所以=,解得λ=.精彩5分钟1.(2014北京丰台一模)已知平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,=m,=...
