高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积练习 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【创新设计】2017版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积练习理北师大版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝()A.0B.1C.2D.解析|a－b|＝＝＝＝.答案D2.(2015·南昌二模)已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝()A.2B.C.10D.5解析 a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝＝.故选B.答案B3.(2016·东北三校联考)向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为()A.45°B.60°C.90°D.120°解析 (a＋b)⊥(2a－b)，∴(a＋b)·(2a－b)＝0，∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0，∴a·b＝0，∴向量a与b的夹角为90°.故选C.答案C4.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案B5.(2015·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A.|b|＝1B.a⊥bC.a·b＝1D.(4a＋b)⊥BC解析在△ABC中，由BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·BC＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC，故选D.答案D二、填空题6.已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________.解析因为OA⊥AB，所以OA·AB＝0.所以OA·OB＝OA·(OA＋AB)＝OA2＋OA·AB＝|OA|2＋0＝32＝9.答案97.(2016·河南六市联考)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________.解析设向量a和b的夹角为θ.由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝0，∴2－2cosθ＝0，解得cosθ＝，∴θ＝.答案18.(2016·安康调研)已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________.解析法一利用几何意义求解：由已知可知，OA＋OB是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD，OA－OB则是对角线向量BA，于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.因此OA·OB＝0，∴锐角θ＝.法二坐标法：OA＋OB＝(sinθ－1，cosθ＋1)，OA－OB＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由|OA＋OB|＝|OA－OB|可得(sinθ－1)2＋(cosθ＋1)2＝(－sinθ－1)2＋(cosθ－1)2，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝.答案三、解答题9.已知平面向量a＝(，－1)，b＝.(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t).(1)证明 a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.(2)解 c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝(t≠0).10.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积.解(1) (2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.(3) AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝3.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·合肥质量监测)在△ABC中，若|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则AE·AF＝()A.B.C.D.解析法一由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，E，F为BC的三等分点，不妨设AE＝AB＋AC，AF＝AB＋AC，因此AE·AF＝·＝AB2＋AC2＋AB·AC＝×4＋×1＝.故选B.法二由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，以AB，AC所在直线为2x，y轴建立平面直角坐标系，E，F为BC的三等分点，不妨设E，F，因此AE·AF＝×＋×＝，故选B.答案B12.(2015·福建卷)已知AB⊥AC，|AB|＝，|...