课时跟踪检测（二十五）函数与导数（大题练）A卷——大题保分练1．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)＝(x－1)ex＋1，g(x)＝ex＋ax－1(其中a∈R，e为自然对数的底数，e＝2
71828…)．(1)求证：函数f(x)有唯一零点；(2)若曲线g(x)＝ex＋ax－1的一条切线方程是y＝2x，求实数a的值．解：(1)证明：因为f(x)＝(x－1)ex＋1(x∈R)，所以f′(x)＝xex，由f′(x)＝xex＝0，得x＝0，f′(x)＝xex>0时，x>0；f′(x)＝xexk(x－1)成立，求k的取值范围．解：(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，∴f′(x)＝－1＝，令f′(x)>0得0k(x－1)，令g(x)＝lnx－＋x－－k(x－1)，则g′(x)＝－x＋1－k＝，令h(x)＝－x2＋(1－k)x＋1，则h(x)的对称轴为直线x＝，①当≤1，即k≥－1时，易知h(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴x∈(1，＋∞)时，h(x)g(1)＝0恒成立，符合题意．②当>1，即k1，使得h(x)在(1，x0)上单调递增，∴h(x)>h(1)＝1－k>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(1，x0)上单调递增，∴g(x)>g(1)＝0恒成立，符合题意．综上，k的取值范围是(－∞，1)．3．(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝lnx＋(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，求证：f(x)≤
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝
考虑y＝x2＋2(1－a)x＋1，x>0
①当Δ≤0，即0≤a≤2时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ>0，即a>2或a2，则a－1＋>a－1－>0，由f′(x)>0，得0
