第一章1.3中国古代数学中的算法案例A级基础巩固一、选择题1．在秦九韶算法中用到的一种方法是(B)A．消元B．递推C．回代D．迭代[解析]秦九韶算法中用到的是递推法．2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为(C)A．2B．3C．4D．5[解析](84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为(D)A．x3－(3x＋2)x－11B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11D．((x－3)x＋2)x－11[解析]f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－11，故选D．4．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是(B)A．15B．17C．51D．85[解析]204－85＝119,119－85＝34,85－34＝51,51－34＝17,34－17＝17，∴204和85的最大公约数是17，故选B．5．根据递推公式，其中k＝1,2，…，n，可得当k＝2时，v2的值为(B)A．v2＝anx＋an－1B．v2＝(anx＋an－1)x＋an－2C．v2＝(anx＋an－1)xD．v2＝anx＋an－1x[解析]根据秦九韶算法知，v2＝v1x＋an－2，v1＝anx＋an－1，故选B．6．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝(C)A．7B．12C．17D．34[解析]该题考查程序框图的运行及考生的识图能力．由程序框图知，第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C．二、填空题7．117与182的最大公约数等于__13__.[解析](117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.8．245与75两数的最小公倍数为__3_675__.[解析]先求245与75的最大公约数．(245,75)→(170,75)→(95,75)→(20,75)→(55,20)→(35,20)→(15,20)→(5,15)→(10,5)→(5,5)．故245与75的最大公约数为5，∴245与75的最小公倍数为245×75÷5＝3675.三、解答题9．利用更相减损之术求319和261的最大公约数.[解析]319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29.即(319,261)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)．故319与261的最大公约数是29.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值.[解析]f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＝21324.故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324.B级素养提升一、选择题1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为(B)A．－57B．220C．－845D．3392[解析]由秦九韶算法，得v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝－57×(－4)－8＝220.2．三个数390、455、546的最大公约数是(D)A．65B．91C．26D．13[解析]对于三个数求最大公约数时，先求其中两个数的最大公约数，再用此公约数与第三个数求出最大公约数，此时就是三个数的最大公约数.3．已知f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于(A)A．－B．C．D．－[解析] f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，∴f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－＝－.4．(2015·新课标Ⅱ理，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a、b分别为14、18，则输出的a＝(B)A．0B．2C．4D．14[解析]程序在执行过程中，a、b的值依次为a＝14，b＝18；b＝4；a＝10；a＝6；a＝2；b＝2，此时a＝b＝2程序结束，输出a的值为2，故选B．二、填空题5．4830与3289的最大公约数为__23__.[解析](4830,3289)→(1541,3289)→(1541，1748)→(1541,207)→(1334,207)→(1127,207)→(920,207)→(713,207)→(506,207)→(299,207)→(92,207)→(92,115)→(92,23)...
