第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积练习理[A组·基础达标练]1．[2016·揭阳月考]已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为()A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)答案D解析设B(x，y)，则AB＝(x＋1，y－5)，又 AB＝3a＝(6,9)，∴∴故选D.2．[2015·陕西二模]设向量a，b满足|a＋b|＝，a·b＝4，则|a－b|＝()A.B．2C．2D.答案C解析 |a＋b|＝，a·b＝4，∴|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝16，∴|a－b|＝2，选C.3．[2016·辽宁五校联考]已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(0，＋∞)B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C．(－∞，3)∪(3，＋∞)D．[－3,3)答案B解析由题意可知向量a与b为一组基底，所以不共线，≠，得m≠－3，选B.4．[2016·贵州七校联考]在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且AD·AB＝AD·AC，则AD·AB的值为()A．0B．－4C．8D．4答案D解析由AD·AB＝AD·AC，得AD·(AB－AC)＝0，即AD·CB＝0，所以AD⊥CB，即AD⊥CB.又AB＝4，∠ABC＝30°，所以AD＝ABsin30°＝2，∠BAD＝60°，所以AD·AB＝AD·AB·cos∠BAD＝2×4×＝4，故选D.5．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(S，a＋b＋c)，q＝(a＋b－c,1)满足p∥q，则tan等于()A.B.C．2D．4答案D解析由p∥q得S＝(a＋b)2－c2＝2ab＋a2＋b2－c2，即absinC＝2ab＋2abcosC，即sinC＝1＋cosC，sin·cos＝2cos2，∴tan＝4.故选D.6．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()A．2B.C.D．1答案A解析由a·b＝－得〈a，b〉＝120°，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则∠AOB＝120°，CA＝a－c，CB＝b－c， 〈a－c，b－c〉＝60°，∴∠ACB＝60°，∴O、A、C、B四点共圆，|c|的最大值应为圆的直径2R.因为在△AOB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝120°，所以AB＝，由正弦定理得2R＝＝2.故选A.7．[2015·兰州双基]设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.答案1解析因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝10①，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝6②，①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1.8．[2015·太原一模]已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．答案解析 (2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－，∴a与b的夹角为.9．[2015·贵阳期末]已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a＋b＋c|＝________.答案2解析如图，建立平面直角坐标系，则A(0,1)，B(0,0)，C(1,0)，∴AB＝a＝(0，－1)，BC＝b＝(1,0)，AC＝c＝(1，－1)，∴a＋b＋c＝(2，－2)，|a＋b＋c|＝2.10．[2016·浙江名校联考]设e1，e2为单位向量，它们的夹角为，a＝xe1＋ye2，b＝xe1－ye2(x，y∈R)，若|a|＝，则|b|的最小值为________．答案1解析 单位向量e1，e2的夹角为，∴e1·e2＝，由|a|＝，得(xe1＋ye2)2＝3，即x2＋y2＋xy＝3①则|b|2＝(xe1－ye2)2＝x2＋y2－xy②①＋②得x2＋y2＝，①－②得xy＝.又x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时“＝”成立，∴≥2·，解得|b|2≥1，因此，|b|的最小值为1.11．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．解(1)OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知OM＝(4t2,4t2＋2)． AB＝OB－OA＝(4,4)，AM＝OM－OA＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB，∴A，B，M三点共线．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．解(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5...
