【课时训练】导数的概念与运算一、选择题1．(2018广东江门一模)设y＝x2ex，则y′＝()A．x2ex＋2xB．2xexC．(2x＋x2)exD．(x＋x2)ex【答案】C【解析】y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.2．(2018河南六市联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′(1)＝()A．－eB．－1C．1D．e【答案】B【解析】由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.3．(2018山东烟台模拟)曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0【答案】C【解析】y′＝cosx＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.4．(2018郑州模拟)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D．【答案】B【解析】因为y＝－3lnx，所以y′＝－.再由导数的几何意义，有－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．5．(2018成都诊断)已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A．eB．－eC．D．－【答案】C【解析】y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，lnx0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－lnx0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.6．(2018昆明诊断)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1B.C．－2D．2【答案】A【解析】∵y′＝，∴＝－1.由条件，知＝－1，∴a＝－1.7．(2018西安一模)函数f(x)＝lnx＋x2－bx＋a(b＞0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是()A．2B.C．1D．2【答案】D【解析】因为f(x)＝lnx＋x2－bx＋a，所以f′(x)＝＋2x－b.所以函数f(x)＝lnx＋x2－bx＋a(b＞0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线斜率为f′(b)＝＋b≥2，所以函数f(x)＝lnx＋x2－bx＋a(b＞0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是2.故选D.8．(2018合肥模拟)已知点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()1A．1B.C.D.【答案】D【解析】点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－lnx，得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故曲线y＝x2－lnx上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点的坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为.二、填空题9．(2018陕西咸阳一模)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.【答案】【解析】因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝.10．(2018郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是____________．【答案】2x－y＋1＝0【解析】由题意，得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.11．(2018豫北名校期末联考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为____________．【答案】5x＋y＋2＝0【解析】∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5.∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.12．(2018长沙一中期末)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.【答案】0【解析】由图形可知f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.13．(2018湖南师大附中月考)若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______．【答案】[2，＋∞)【解析】∵f(x)＝x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．三、解答题14．(2018湖北孝感高中期中)已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．【解】(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x－x0)，则切线方程为y－(x－x0)＝f′(x0)(x－x0)．2又切线过点(1，b)，所以(3x－1)(1－x0)＋x－x0＝b，即2x－3x＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．3
