22平面向量中的线性问题1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为________．答案(，－)解析由题意知AB＝(3，－4)，所以与AB同方向的单位向量为＝(，－)．2．(2014·课标全国Ⅰ改编)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则化简：EB＋FC＝________.答案AD解析如图，EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝EC＋FB＝(AC＋AB)＝·2AD＝AD.3．(2014·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.答案解析∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，∴|λa|＝|－b|＝|b|＝＝，∴|λ|·|a|＝.又|a|＝1，∴|λ|＝.4．(2014·福建改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则化简：OA＋OB＋OC＋OD＝________.答案4OM解析因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，故OA＋OC＋OB＋OD＝4OM.5.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝2，|OB|＝，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ和μ的值分别为________．答案2，解析设与OA，OB同方向的单位向量分别为a，b，依题意有OC＝4a＋2b，又OA＝2a，OB＝b，则OC＝2OA＋OB，所以λ＝2，μ＝.6．(2013·四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.答案2解析由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB＋AD＝AC＝2AO，∴λ＝2.7．(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案解析如图，DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.8．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN(m，n>0)，则＋的最小值为________．答案解析MO＝AO－AM＝－AB＝AB＋AC.同理NO＝AC＋AB，M，O，N三点共线，故AB＋AC＝λ，即AB＋AC＝0，由于AB，AC不共线，根据平面向量基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得m＋n＝2，故＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝.9．(2014·天津改编)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ＝________.答案解析∵AE＝AB＋λBC，AF＝AD＋μDC，∴AE·AF＝(AB＋λBC)·(AD＋μDC)＝AB·AD＋μAB·DC＋λBC·AD＋λμBC·DC＝2×2×(－)＋4μ＋4λ＋2×2×(－)λμ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.∴2(λ＋μ)－λμ＝.①∵CE·CF＝(1－λ)CB·(1－μ)CD＝(λμ－λ－μ＋1)CB·CD＝2×2×(－)(λμ－λ－μ＋1)＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝，即λμ－(λ＋μ)＝－.②由①②解得λ＋μ＝.10．在平面内，已知|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则＝________.答案±3解析因为∠AOC＝30°，所以〈OA，OC〉＝30°.因为OC＝mOA＋nOB，OA·OB＝0，所以|OC|2＝(mOA＋nOB)2＝m2|OA|2＋n2|OB|2＝m2＋3n2，即|OC|＝.又OA·OC＝OA·(mOA＋nOB)＝mOA2＝m，则OA·OC＝|OA|·|OC|cos30°＝m，即1××＝m，平方得m2＝9n2，即＝9，所以＝±3.11．已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．(1)证明∵AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB，∴AB与BD共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.12．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1＝a2，求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时a的值．(1)解OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明当t1＝1时，由(1)知OM＝(4t2,4t2＋2)．∵AB＝OB－OA＝(4,4)，AM＝OM－OA＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB，∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．(3)解当t1＝a2时，OM＝(4t2,4t2＋2a2)．又AB＝(4,4)，OM⊥AB，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－a2，故OM＝(－a2，a2)．又|AB|＝4，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝|a2－1|.∵S△ABM＝12，∴|AB|·d＝×4×|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.
