第4节数列求和及综合应用课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．数列{1＋2n－1}的前n项和为()(A)1＋2n(B)2＋2n(C)n＋2n－1(D)n＋2＋2nC解析：由题意令an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1，故选C.2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项的和，则S10－S4＝()(A)1008(B)2016(C)2032(D)4032B解析：由题意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q3＋2)＝2q＋2q4＝q(2q3＋2)，得q＝2，所以an＝2n，S10＝＝211－2＝2046，S4＝＝25－2＝30，所以S10－S4＝2016，故选B.3．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和为()(A)4(B)4(C)1－(D)－A解析：由题意知an＝＋＋＋…＋＝＝，bn＝＝4，所以b1＋b2＋…＋bn＝4＋4＋…＋4＝4＝4.故选A.4．(2019江西临川一中)已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋＜t，则实数t的取值范围是()(A)(，＋∞)(B)[，＋∞)(C)(，＋∞)(D)[，＋∞)D解析：a1＝2，n≥2时，a1a2a3…an－1＝2(n－1)2，∴an＝22n－1(n≥2)． 当n＝1时，也满足an＝22n－1.∴an＝22n－1(n∈N*)．＋＋…＋＝＝＜∴t∈，故选D.5．已知等比数列{an}的首项为，公比为－，其前n项和为Sn，则Sn的最大值为()(A)(B)(C)(D)D解析：因为等比数列{an}的首项为，公比为－，所以Sn＝＝1－－n，当n取偶数时，Sn＝1－n<1；当n取奇数时，Sn＝1＋n≤1＋＝.所以Sn的最大值为.故选D.6．(2018江西师大附中检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S3，S4成等差数列，则数列{an}的公比为________．解析：设{an}的公比为q，由题意易知q＞0且q≠1，因为S1，S3，S4成等差数列，所以2S3＝S1＋S4，即＝a1＋，解得q＝.答案：17．现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.解析：设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为{an}，由题意知，a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1·an.所以3an－1＝114，即an－1＝38.(a1＋5d)2＝a1·(an－1＋d)，所以(10＋5d)2＝10×(38＋d)，即5d2＋18d－56＝0，解得d＝2或d＝－(舍去)．所以an－1＝10＋(n－2)×2＝2n＋6＝38，所以n＝16.答案：168．数列{an}中，a1＝1，an＝，则{an}的通项公式an＝________.解析：＝＋，则＝＋＝，{an}的通项公式an＝.答案：9．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求和：＋＋＋…＋.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 等差数列{an}的各项均为正数，即an＞0，∴d＞0，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，依题意得，解得，或(舍去)，故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1，(2) Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．∴＝＝，∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝＝－.10．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积T.解析：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知q＞0.2由题意得所以3q2－5q－2＝0.因为q＞0，所以q＝2，x1＝1，因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②①－②得－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝＋－(2n＋1)×2n－1.所以Tn＝.能力提升练(时间：15分钟)11．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝()(A)(B)(C)1(D)B解析：对数函数y＝logax的图像过...
