课时作业28平面向量的数量积一、选择题1．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝()A．1B.C.D．2解析：由题意可得|a|＝|b|＝1，又它们的夹角为，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2×1×1×cos＝3，故|a＋b|＝，故选C.答案：C2．(2017·河北唐山一模)已知向量a，b满足a·(a－b)＝2，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析：由a·(a－b)＝2，得a2－a·b＝2，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－2cos〈a，b〉＝2.所以cos〈a，b〉＝－，所以〈a，b〉＝，故选D.答案：D3．(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.D．－解析：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.故选B.答案：B4．(2017·商丘模拟)在△ABC中，已知|AB|＝4，|AC|＝1，S△ABC＝，则AB·AC的值为()A．－2B．2C．±4D．±2解析：S△ABC＝|AB|·|AC|·sin∠BAC＝×4×1×sin∠BAC＝.∴sin∠BAC＝，cos∠BAC＝±，∴AB·AC＝|AB|·|AC|·cos∠BAC＝±2.答案：D5．(2017·江西赣中南五校一联)△ABC外接圆圆心为O，半径为1,2AO＝AB＋AC，且|OA|＝|AB|，则向量BA在向量BC方向的投影为()A.B.C．－D．－解析：因为2AO＝AB＋AC⇒2AO＝OB－OA＋OC－OA，所以OB＝－OC，所以O，B，C三点共线，即AB⊥AC.又因为|OA|＝|AB|＝1，所以|BC|＝2，所以BA·BC＝BA·(AC－AB)＝1，故向量BA在向量BC上的投影为，选A.答案：A6．如图，已知点P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)()A．最大值为8B．为定值6C．最小值为2D．与P的位置有关解析：设BC的中点为D，连接AD，AP，AD的夹角为θ，则有AP·(AB＋AC)＝2AP·AD＝2|AD|·(|AP|cosθ)＝2|AD|2＝6.答案：B二、填空题7．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是BC，CD的中点，则(AE＋AF)·BD等于________．解析：如图，将矩形放入直角坐标系中，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，E，F(1,1)，所以AE＝，AF＝(1,1)，BD＝(－2,1)，所以AE＋AF＝，所以(AE＋AF)·BD＝·(－2，1)＝－6＋＝－.答案：－8．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析：由已知得cosβ＝＝＝， e1与e2是单位向量，其夹角为α，且cosα＝，∴|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1||e2|cosα＝.∴cosβ＝＝.答案：9．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a＋c)·(b＋c)的最大值为________．解析：法1：设向量c与a＋b的夹角为θ，则有|a＋b|＝＝＝，(a＋c)·(b＋c)＝(a＋b)·c＋c2＝1＋cosθ，故最大值是1＋.法2： a，b是单位向量，且a·b＝0，故可设a＝(1,0)，b＝(0,1)．又c是单位向量，故可设c＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0,2π)．∴(a＋c)·(b＋c)＝(1＋cosθ，sinθ)·(cosθ，1＋sinθ)＝(1＋cosθ)cosθ＋sinθ(1＋sinθ)＝cosθ＋cos2θ＋sinθ＋sin2θ＝1＋cosθ＋sinθ＝1＋sin.∴(a＋c)·(b＋c)的最大值为1＋.答案：1＋三、解答题10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)① |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.② |4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768.∴|4a－2b|＝16.(2) (a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0.即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．11．如图，O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量OA，OB，OC的模分别为2，，4.(1)求|OA＋OB＋OC|；(2)若OC＝mOA＋nOB，求实数m，n的值．解：(1)由已知条件易知OA·OB＝|OA|·|OB|·cos∠AOB＝－3，OA·OC＝|OA|·|OC|·cos∠AOC＝－4，OB·OC＝0，∴|OA＋OB＋OC|2＝OA2＋OB2＋OC2＋2(OA·OB＋OA·OC＋OB·OC)＝9，∴|OA＋OB＋OC|＝3.(2)由OC＝mOA＋nOB可得，OA·OC＝mOA2＋nOA·OB，且OB·OC＝mOB·OA＋nOB2.∴∴m＝n＝－4.1．已知AB，AC是非零向量，且满足(AB－2AC)⊥AB，(AC－2AB)⊥AC，则△AB...
