高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第5讲椭圆1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：选C.不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：选C.由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝b2.以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2，由题意可知b＝＝，所以a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1，故选C.3．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为()A．3B.3或C.D．6或3解析：选C.由已知a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝.故选C.4．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D．解析：选B.由题可知点P的横坐标是－c，代入椭圆方程，有＋＝1，得y＝±.又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，化简得4c2＋ac－3a2＝0，即4e2＋e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．5．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A..C..解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，c)．因为点P在过点A，且斜率为的直线上，所以＝，解得＝，所以e＝，故选D.6．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．解析：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则由得故k的取值范围为(1，2)．答案：(1，2)7．若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________．解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝＝；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝＝.答案：或8．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是_________________________________．解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．由题意知所以椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝19．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率．(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0b>0)，由题意可得c＝，又e＝＝，所以a＝2.所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，得验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝.将x1＝－2x2代入上式可得，()2＝，解得k2＝.所以△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2|＝＝·＝.1．(2019·广州综合测试(一))已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使得∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A．(，1)B.(，1)C．(0，)D．(0，)解析：选A.法一：设P(x0，y0)，由题易知|x0|