课后限时集训(二十六)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()A．－B．0C.D．3A[依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.]2．(2019·合肥模拟)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝()A.B．2C．2D．4B[由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0.又∵|a－b|＝2，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4，则|b|2＝4，|b|＝2，故选B.]3．(2019·昆明模拟)已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，A(2,2)，C(1，－2)，则OB·AC＝()A．－6B．－3C．3D．6B[OA＝(2,2)，OC＝(1，－2)，则OB＝OA＋OC＝(3,0)，又AC＝(－1，－4)，所以OB·AC＝3×(－1)＋0×(－4)＝－3.故选B.]4．已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1，2)，D(1,5)，则向量AC在BD方向上的投影为()A.B．－C.D．－D[∵AC＝(－1,1)，BD＝(3,2)，∴AC在BD方向上的投影为|AC|cos〈AC，BD〉＝＝＝＝－.故选D.]5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.C[∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，∴2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－，∵0≤〈a，b〉≤π.∴〈a，b〉＝.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.－[∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.]7．已知a＝，b＝，则|a－b|＝________.[由题意知|a|＝|b|＝1，a·b＝coscos＋sinsinπ＝cos＝cos＝－.所以|a－b|2＝a2－2a·b＋|b|2＝2＋2×＝3，即|a－b|＝.]8．已知锐角三角形ABC中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为，则AB·AC＝________.2[由S△ABC＝|AB||AC|sinA＝得sinA＝，又A∈，则A＝，故AB·AC＝|AB||AC|cosA＝4×1×＝2.]三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．[解](1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又因为|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6.所以cosθ＝＝＝－.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.(3)因为AB与BC的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又因为|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，所以S△ABC＝|AB|·|BC|sin∠ABC＝×4×3×＝3.10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影．[解](1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，化简得cosA＝－.因为0＜A＜π，所以sinA＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，则sinB＝＝＝，因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，c＝－7(舍去)，故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝ccosB＝1×＝.B组能力提升1．(2019·黄冈模拟)已知AB＝(cos23°，cos67°)，BC＝(2cos68°，2cos22°)，则△ABC的面积为()A．2B.C．1D.D[因为AB＝(cos23°，sin23°)，BC＝(2sin22°，2cos22°)，所以cos〈AB，BC〉＝＝sin45°＝.所以AB与BC的夹角为45°，故∠ABC＝135°.所以S△ABC＝|AB||BC|sin135°＝×1×2×＝，故选D.]2．(2019·太原模拟)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为()A．0B.C.D.B[(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.]3．已知点O为△ABC的外心，且|AC|＝4，|AB|＝2，则AO·BC＝________.6[因为点O为△ABC的外心，且|AC|＝4，|AB|＝2，所以AO·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB＝|AO||AC|cos〈AO，AC〉－|AO||AB|·cos〈AO，AB〉＝|AC||AC|×－|AB||AB|×＝6.]4．(2019·合肥模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a，b，c成等比数列，cosB＝.(1)求＋的值；(2)设BA·BC＝，求a＋c的值．[解](1)由cosB＝，0＜B＜π得sinB＝＝，∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由正弦定理，可得sin2B＝sinAsinC，于是＋＝＋＝＝＝＝＝.(2)由BA·BC＝得cacosB＝，而cosB＝，∴b2＝ac＝2，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2＋c2＝5，∴(a＋c)2＝5＋2ac＝9，∴a＋c＝3.
