2.3.2平面与平面垂直的判定A组1.以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角,可能为钝角的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°;直线和平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°;二面角的平面角θ的范围是0°≤θ≤180°.故可能为钝角的只有二面角的平面角.答案:B2.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ解析: m⊂α,m⊥γ,∴α⊥γ.又l⊂γ,∴m⊥l.答案:A3.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是()A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PAD解析:由面面垂直的判定定理知:平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,A,B,D正确.答案:C4.从二面角α-l-β内的一点P向两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小是()A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定解析:如图,设平面PEF交l于点O,连接OE,OF. l⊥PE,l⊥PF,∴l⊥平面PEF.∴l⊥OF,l⊥OE.∴∠EOF为二面角α-l-β的平面角,其大小为120°.答案:B5.若以等腰直角三角形斜边上的高为棱,把它折成直二面角,则折后两条直角边的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:如图1,AD⊥DC,AD⊥DB,∴∠CDB=90°,设AB=AC=a,则CD=BD=a,∴CB=a,∴图2中△ABC是正三角形.∴∠CAB=60°.答案:C6.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有对.解析: AB⊥平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD. BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.∴平面ADC⊥平面ABC.所以,共有3对互相垂直的平面.答案:37.在平面几何中,有真命题:如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补.某同学将此结论类比到立体几何中,得一结论:如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直,那么这两个二面角相等或互补.你认为这个结论.(填“正确”或“错误”)解析:如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABC1D1⊥平面BCC1B1,平面CDD1C1⊥平面ABCD,而二面角A-C1D1-C为45°,二面角A-BC-C1为90°.则这两个二面角既不相等又不互补.答案:错误8.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是.解析:如图作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sinθ==sin30°·sin60°=.答案:9.在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,AB⊥BC,PB=AB,D,E分别是PA,PC的中点,G,H分别是BD,BE的中点.求证:(1)GH∥平面ABC;(2)平面BCD⊥平面PAC.证明:(1)连接DE,在△BDE中,G,H分别是BD,BE中点,所以GH为△BDE的中位线,所以GH∥DE.在△PAC中,D,E分别是PA,PC中点,所以DE为△PAC的中位线.所以DE∥AC.所以GH∥AC.又GH⊄平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)因为AB=PB,所以BD⊥PA.又∠PBC=∠ABC=90°,所以PC=AC,所以CD⊥PA.所以PA⊥平面BCD.所以平面PAC⊥平面BCD.10.如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,求二面角V-AB-C的大小.解:如图,作VO⊥平面ABCD,垂足为O,则VO⊥AB,取AB中点H,连接VH,OH,则VH⊥AB. VH∩VO=V,∴AB⊥平面VHO,∴AB⊥OH,∴∠VHO为二面角V-AB-C的平面角.易求VH2=VA2-AH2=()2-=4,∴VH=2,而OH=AB=1,∴∠VHO=60°.故二面角V-AB-C的大小是60°.B组1.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么()A.α⊥γ,且l⊥mB.α⊥γ,且m∥βC.m∥β,且l⊥mD.α∥β,且α⊥γ解析:如图,平面α为平面AA1D1D,平面β为平面BB1C1C,平面γ为平面ABCD, m⊂α,m⊥γ,由面面垂直的判定定理得α⊥γ,又m⊥γ,l⊂γ,∴结合线面垂直的性质得m⊥l.答案:A2.在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC解析:可画出对应图形(图略),则BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A成立;由AE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,∴DF⊥平面PAE,故B成立;又DF⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面PAE,故D成立.答案:C3...
