课时作业6平面向量基本定理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是(ABC)A．AC＝AB＋ADB．BD＝AD－ABC．AO＝AB＋ADD．AE＝AB＋AD解析：由向量减法的三角形法则知，BD＝AD－AB，B正确；由向量加法的平行四边形法则知，AC＝AB＋AD，AO＝AC＝AB＋AD，A、C正确，只有D错误．2．在△ABC中，已知D为AC上一点，若AD＝2DC，则BD＝(D)A．－BC－BAB．BC＋BAC．－BC－BAD．BC＋BA解析：如图，BD＝BA＋AD＝BA＋AC＝BA＋(BC－BA)＝BC＋BA，故选D．3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2AD＝DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于(A)A．B．－C．D．－解析：方法一：由平面向量的三角形法则可知CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝.方法二：因为A，B，D三点共线，CD＝CA＋λCB，所以＋λ＝1，所以λ＝.4．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2，则OP＝(D)A．a＋λbB．λa＋bC．λa＋(1＋λ)bD．解析： P1P＝λPP2，∴OP－OP1＝λ(OP2－OP)，(1＋λ)OP＝λOP2＋OP1，∴OP＝.5．已知非零向量OA，OB不共线，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则x，y满足的关系是(A)A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)·OA－λOB.又2OP＝xOA＋yOB，∴消去λ得x＋y＝2.6．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点)，则AP＝(A)A．λ(AB＋AD)，λ∈(0,1)B．λ(AB＋BC)，λ∈(0，)C．λ(AB－AD)，λ∈(0,1)D．λ(AB－BC)，λ∈(0，)解析：如图所示，AC＝AB＋AD，又点P在AC上，∴AP与AC同向，且|AP|<|AC|，故AP＝λ(AB＋AD)，λ∈(0,1)．二、填空题7．如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，M是DC的中点，以{a，b}为基底表示向量AM＝a＋1b.解析：AM＝AD＋DM＝AD＋DC＝AD＋AB＝b＋a.8．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有CD＝CA＋λCB，则λ＝－.解析：因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使AD＝tAB，则CD－CA＝t(CB－CA)．所以CD＝CA＋t(CB－CA)＝(1－t)CA＋tCB.所以解得λ＝－.9．在△ABC中，AB＝a，BC＝b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，则用a，b表示向量AG＝a＋b.解析：依题意得，AG＝AD＝×(AB＋AC)＝AB＋(BC＋AB)＝AB＋BC＝a＋b.三、解答题10．在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是DA、BC的中点，且＝k(k≠1)．设AD＝e1，AB＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量DC、BC、MN在此基底下的分解式．解：如图所示， AB＝e2，且＝k，∴DC＝kAB＝ke2，又AB＋BC＋CD＋DA＝0，∴BC＝－AB－CD－DA＝－AB＋DC＋AD＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.而MN＋NB＋BA＋AM＝0，∴MN＝－NB－BA－AM＝BN＋AB－AM＝BC＋e2－AD＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2.11．如图，已知M为△ABC的边BC上一点，且满足AM＝AB＋AC，求△ABM与△ABC的面积之比．解： AM＝AB＋AC，∴AM＝(MB－MA)＋(MC－MA)，∴MB＋MC＝0，∴MC＝3BM，∴＝＝.——能力提升类——12．(多选)在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，EF＝λAB＋μDC(λ，μ∈R)，给出下列四组等式，其中，符合条件的是(BD)A．AE＝AD，BF＝BCB．AE＝AD，BF＝BCC．AE＝AD，BF＝BCD．AE＝AD，BF＝BC解析：由题意，设AE＝xAD，BF＝yBC，则EF＝EA＋AB＋BF＝AB＋yBC－xAD＝AB＋y(BA＋AD＋DC)－xAD＝(1－y)AB＋(y－x)AD＋yDC，又EF＝λAB＋μDC(λ，μ∈R)，则y－x＝0，即x＝y，满足题意的有B、D．13．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AP＝yAD，AQ＝xAB，其中x，y∈R，且均不为0.若PQ∥BE，则＝.解析： PQ＝AQ－AP＝xAB－yAD，由PQ∥BE，可设PQ＝λBE，即xAB－yAD＝λ(CE－CB)＝λ(－AB＋AD)＝－AB＋λAD，∴则＝.14．设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2，其中不能作为平面内所有向量的基底的是③.(写出所有满足条件的序号)解析：①设e1＋e2＝λe1，则无解，∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，...
