高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 第2课时 定点、定值、范围、最值问题配套练习 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2课时定点、定值、范围、最值问题一、选择题1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.答案C2．(2017·石家庄模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足|OM|＝1，且OM·PM＝0，则当|PM|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.B.C．4D．5解析由OM·PM＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.答案B3．已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A．2B．2C．8D．2解析根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，∴＋＝1，可得m＝2.答案B4．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(1,3]D．(1,3)解析依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0. 渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a，∴e＝≥3.答案A5．(2017·宝鸡一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.C.D.解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，当t＝0时，|AB|max＝.答案C二、填空题6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析由条件知双曲线的焦点为(4,0)，所以解得a＝2，b＝2，故双曲线方程为－＝1.答案－＝17．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，|AM|＝1，且PM·AM＝0，则|PM|的最小值是________．解析 PM·AM＝0，∴AM⊥PM.∴|PM|2＝|AP|2－|AM|2＝|AP|2－1， 椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP|min＝2，∴|PM|min＝.答案8．(2017·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4， e＞1，∴1＜e≤2.答案(1,2]三、解答题9.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且PC·PD＝－1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得OA·OB＋λPA·PB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．又点P的坐标为(0,1)，且PC·PD＝－1，于是解得a＝2，b＝.所以椭圆E方程为＋＝1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，所以，x1＋x2＝－，x1x2＝－.从而，OA·OB＋λPA·PB＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－2.所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.此时，OA·OB＋λPA·PB＝－3为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时OA·OB＋λPA·PB＝OC·OD＋PC·PD＝－2－1＝－3，故存在常数λ＝1，使得OA·OB＋λPA·PB为定值－3.10．(2016·浙江卷)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0.故x1＝0，x2＝－，因此|AM|＝|x1－x2|＝·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.由...