导数概念及意义知识点反思梳理：Ⅰ.为了研究函数值的“增减变化”情况（也就是函数的单调性）发明了用来判断单调性的“方法工具”……“单调性定义”【只要都有则函数就在区间上单调递增】Ⅱ.观察下列函数图象不难发现：虽然函数都是递增（递减）函数，可是增减的快慢（陡峭程度）却各不相同。究竟怎样刻画、区别函数的陡峭程度呢？比如“越陡值就越大…….’那么又是为了研究什么发明的“平均变化率”、“瞬时变化率“、”导数”呢？？Ⅲ.发明一个什么样的“数学工具模型”才能“刻画变量变化的快与慢？”数缺形时少直观，形缺数时难入微。如何量化曲线的陡峭程度？Ⅳ.平均变化率：一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率。简记为Ⅴ.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．Ⅵ.平均变化率量化一段曲线的“陡峭程度、快慢程度”是“粗糙不精确的”，Ⅶ.但应注意当很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。Ⅷ.【导数产生的背景：】1.如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线c上一点奎屯王新敞新疆作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一位置PT奎屯王新敞新疆我们就把该位置上的直线PT，叫做曲线c在点P处的切线奎屯王新敞新疆割线斜率切线斜率也叫是函数在点的瞬时变化率.y=f(x)xyQMPxOyy=f(x)xyQMPxOy用心爱心专心12..函数在该点处的这个具有预测、导性的数，数学上也常把它叫做“导数’3.分别说出下列符号语言的含义：①；②；③；.④.4.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值奎屯王新敞新疆它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值奎屯王新敞新疆5．与的区别：在对导数的概念进行理解时，特别要注意与是不一样的，代表函数在处的导数值，不一定为0；而是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即=0。例1.已知曲线在处的切线的倾斜角为，则，.变式1：已知函数的导函数为，且有则？例2：.如图，水以常速（单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．2.根据导数的几何意义：就是函数在点处的切线斜率.请分别观察上述图象随着的增大值增加的快慢与切线斜率的大小关系？练习：（2010江西）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为00StS，则导函数'ySt的图像大致为用心爱心专心2练习：单位圆中弧AB长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成弓形面积的2倍。则函数f（x）的图像是（）ABCD解析一：定量分析。可列出f（x）=x－sinx，知0x，f（x）图像在y=x上方。选D解二：定性分析。当x从增至2π时，f（x）变化经历了从慢到快，从快到慢的过程，选D命题意图与思路点拨：此题考查学生作图、识图、用图的能力。解析二与解析三直接避开求f（x）解析式，把图像与性质对应，通过性质，作出判断，本题对学生分析思考能力，要求较高。例3.若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标.变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程变式3:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程变式4:已知直线,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.变式5:求函数图象上的点到直线的距离的最小值及相应点的坐标.解：首先由得知，两曲线无交点.，要与已知直线平行，须，故切点：（0,－2）..例4：【2008海南宁夏文21/22】设函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.用心爱心专心3解：（Ⅰ）方程可化为，当时，；又，于是，解得，故（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定...
