第七节正弦定理、余弦定理的应用举例【最新考纲】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)仰角与俯角都是目标视线与水平线的夹角，因此二者没有区别．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝1180°.()(3)若点P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.()(4)方位角与方向角的实质均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°解析：如下图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理，得＝.∴AD＝AB·＝＝2cos10°.答案：C3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：如下图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，2∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案：B4．如下图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．50mB．25mC．25mD．50m解析：因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50m.答案：D5．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()3A．50mB．100mC．120mD．150m解析：设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h.根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50m.答案：A一个程序解三角形应用题的一般步骤1．审题：阅读理解题意，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；2．建模：根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；3．求解：根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；4．检验：将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．一个区别“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．两种情形解三角形应用题的两种情形1．已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．两点注意1．画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．2．解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出4的量．A级基础巩固一、选择题1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的()A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．东偏西30°解析：如下图，点B在点A的南偏东30°.答案：C2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于ɑkm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．ɑkmB.ɑkmC.ɑkmD．2ɑkm解析：在△ABC中，AC＝BC＝ɑ，∠ACB＝120°，5∴AB2＝ɑ2＋ɑ2－2a2cos120°＝3ɑ2，AB＝ɑ.答案：B3．如右图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20...
