题组训练18定积分与微积分基本定理1．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0，2)上恰好有()A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点答案B解析 f′(x)＝x2－2ax，且a>2，∴当x∈(0，2)时，f′(x)<0，即f(x)在(0，2)上是单调减函数．又 f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，∴f(x)在(0，2)上恰好有1个零点．故选B.2．函数y＝x2ex的图像大致为()答案A解析因为y′＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex，所以当x<－2或x>0时，y′>0，函数y＝x2ex为增函数；当－20，所以排除D，故选A.3．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为()A．[，e]B．(，e)C．[1，e]D．(1，e)答案A解析f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤时，f′(x)≥0.∴f(x)是[0，]上的增函数．∴f(x)的最大值为f()＝e，f(x)的最小值为f(0)＝.4．(2018·山东陵县一中月考)已知函数f(x)＝x2ex，当x∈[－1，1]时，不等式f(x)0，函数f(x)单调递增，且f(1)>f(－1)，故f(x)max＝f(1)＝e，则m>e.故选D.5．(2014·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)答案C解析当a＝0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意．当a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当a>0时，>0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞，0)与(，＋∞)上为增函数，在(0，)上为减函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0>0，则f(0)<0，即1<0，不成立．当a<0时，<0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞，)和(0，＋∞)上为减函数，在(，0)上为增函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0>0，则f()>0，即a·－3·＋1>0，解得a>2或a<－2，又因为a<0，故a的取值范围为(－∞，－2)．选C.6．f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为()A．(－4，0)∪(4，＋∞)B．(－4，0)∪(0，4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(0，4)答案D解析设g(x)＝xf(x)，则当x<0时，g′(x)＝[xf(x)]′＝x′f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)＋f(x)<0，所以函数g(x)在区间(－∞，0)上是减函数．因为f(x)是定义在R上的偶函数．所以g(x)＝xf(x)是R上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．因为f(－4)＝0，所以f(4)＝0，即g(4)＝0，g(－4)＝0，所以xf(x)>0化为g(x)>0.设x>0，不等式为g(x)>g(4)，即0g(－4)，即x<－4，所求的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．故选D.7．(2018·衡水调研卷)已知函数f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R.若不等式f(x)≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，则实数a的取值范围是()A．[e，＋∞)B．[，＋∞)C．[，e2)D．[e2，＋∞)答案B解析由题意可得bx2≤alnx－x，所以b≤.由b∈(－∞，0]，故对任意的x∈(e，e2]，都有≥0，即alnx≥x对一切x∈(e，e2]恒成立，即a≥对一切x∈(e，e2]恒成立．令h(x)＝，则h′(x)＝>0在x∈(e，e2]上恒成立，故h(x)max＝，所以a≥.故选B.8．(2018·湖南衡阳期末)设函数f(x)＝ex(x3＋x2－6x＋2)－2aex－x，若不等式f(x)≤0在[－2，＋∞)上有解，则实数a的最小值为()A．－－B．－－C．－－D．－1－答案C解析由f(x)＝ex(x3＋x2－6x＋2)－2aex－x≤0，得a≥x3＋x2－3x＋1－.令g(x)＝x3＋x2－3x＋1－，则g′(x)＝x2＋x－3＋＝(x－1)(x＋3＋)．当x∈[－2，1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在[－2，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故g(x)min＝g(1)＝＋－3＋1－＝－－，则实数a的最小值为－－.故选C.9．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为________．答案2解析设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2＋＝9，即a2＝9－，正六棱柱的体积V＝(6×a2)×h＝×(9－)×h＝×(－＋9h)．令y＝－＋9h，则y′＝－＋9，令y′＝0...
