课时跟踪训练(六)函数的单调性与最值[基础巩固]一、选择题1．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是()A．y＝B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－x[解析]函数y＝，y＝ln(x＋1)在(－1,1)上都是增函数，函数y＝cosx在(－1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y＝2－x＝x在(－1,1)上是减函数，故选D.[答案]D2．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)[解析]设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．[答案]B3．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是()A．f(x)＝B．f(x)＝x2－4x＋4C．f(x)＝2xD．f(x)＝logx[解析](x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0等价于x1－x2与f(x1)－f(x2)正负号相同，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．显然只有函数f(x)＝2x符合，故选C.[答案]C4．函数f(x)＝的最大值是()A.B.C.D.[解析]由f(x)＝≤，则[f(x)]max＝，故选D.[答案]D5．(2017·东北三校联考(一))设函数f(x)＝x2＋(a－2)x－1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的最小值为()A．－2B．－1C．1D．2[解析]由题意得≤2，解得a≥－2，所以实数a的最小值为－2.[答案]A6．(2017·德州市模拟)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式>0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1D．(－1,0)∪(0,1)[解析]因为函数f(x)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0，所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，且f(－1)＝0.由>0，可得>0，即>0，当x<0时，f(x)<0，即f(x)0时，f(x)>0，即f(x)>f(1)，解得x>1.故不等式>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．[答案]A二、填空题7．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.[解析]易知f(x)在[a，b]上为减函数，∴即∴∴a＋b＝6.[答案]68．函数y＝log|x－3|的单调递减区间是________．[解析]函数的定义域为{x|x≠3}．令u＝|x－3|，则在(－∞，3)上u为x的减函数，在(3，＋∞)上u为x的增函数．又 0<<1，∴在区间(3，＋∞)上，y为x的减函数．[答案](3，＋∞)9．若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．[解析]解法一：f(x)＝＝＝＋a.任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x10，x1＋2>0，x2＋2>0，∴1－2a<0，a>，即实数a的取值范围是.解法二：f(x)＝＝a＋， f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，∴1－2a<0，∴a>.[答案]三、解答题10．已知函数f(x)＝a－.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，设00，x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋，2则a1，所以2－>0，所以h(x1)
