专题14平面向量的数量积一、本专题要特别小心：1.平面向量数量积的模夹角公式的应用2.平面向量数量积的坐标公式应用问题3.向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题5.向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。二．【学习目标】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．三．【方法总结】1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b＝a·cb＝c；a·b＝0a＝0或b＝0，但满足交换律和分配律.2.公式a·b＝|a||b|cosθ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.4.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0与a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0要区分清楚.四．【题型方法】（一）向量的数量积例1.在矩形中，，，点为的中点，点在，若，则的值（）A．B．2C．0D．1【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系，可得，，，，，，解得，，，.故选A项．练习1.在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以当x=2，y=1时取最小值，此时.故选：B.练习2.如图所示，已知点为的重心，，，则的值为___________.【答案】72【解析】连接延长交于，因为为重心，所以为中点,且,因为,所以，则,故答案为72.（二）向量的投影例2.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.所以点A的轨迹方程为：，则，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，则在方向上投影的最大值是，故选：C．练习1.已知||=||=，动点满足，且，则在方向上的投影的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知有=（）•（）=-+（μ-λ）=2λ-2μ，又2=（）2=4（λ2+μ2+λμ），又2λ+μ=2，所以μ=2-2λ，则在方向上的投影为==，令t=3λ-2，则，则f（t）=，①当t＞0时，f（t）==≤2，即0＜f（t）≤2；②当t=0时，f（t）=0，③当t＜0时，f（t）=-，即-＜f（t）＜0，综合①②③得＜f（t）≤2，即∈（]，故选A．练习2.已知，，且，共线，则向量在方向上的投影为__________．【答案】【解析】由与共线得：，解得：向量在方向上的投影为：本题正确结果：练习3.已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则在方向上的投影等于________．【答案】【解析】因为，是夹角为的两个单位向量所以因为，所以因为，所以设与的夹角为，则所以在方向上的投影等于练习4.定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（）A．在方向上的投影为B．C．D．若，则与平行【答案】BD【解析】由向量投影的定义可知，A显然不成立；，故B成立；，当时不成立，故C不成立；由，得，即两向量平行，故D成立。综上所述，故选BD。（三）数量积与最值例3.在直角三角形中，，，，点在斜边的中线上，则的最大值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以以的方向为轴的正方向，建立直角坐标系，如下图所示：所以设，所以，，，所以当时，的最大值为，故本题选C.练习1.已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（）A．B．2C．D．1【答案】C【解析】由-（）•+=0得：（）•（-）=0，即（）⊥（-）...
