考点10利用导数研究函数的单调性、极值、最值一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.C.D.【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,f'(x)=1-cos2x-cosx,但f'(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D.方法二:f'(x)=1-cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立,故1-(2cos2x-1)+acosx≥0,即acosx-cos2x+≥0恒成立,令t=cosx,所以-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,构造函数f(t)=-t2+at+,开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,故只需解得-≤a≤.2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.【解析】选A.由题设知:不妨设P1,P2点的坐标分别为:P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中0
0,f'(x)<0的解集得出函数的极值点.【解析】选D.f'(x)=3x2-12=3,令f'(x)=0,得x=-2或x=2,易知f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)的极小值为f,所以a=2.二、解答题4.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围.(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.【解析】(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点;②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b(b-2)+a(b-1)2=a>0,故f(x)存在两个零点;③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点,综上,a的取值范围为(0,+∞).(2)不妨设x1f(2-x2),即f(2-x2)<0,由于f(2-x2)=-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2-(x2-2),设g(x)=-x-(x-2)ex,则g'(x)=(x-1)(-ex).所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.5.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T21)(本小题满分12分)设函数f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x).(2)求A.(3)证明|f'(x)|≤2A.【解析】(1)f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx.(2)当a≥1时,当0,所以当0,又,所以A=g.当01,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.【解析】(1)由题设,f(x)的定义域为,f'(x)=-1,令f'(x)=0,解得x=1.当00,f(...
