高考数学一轮总复习 6.4基本不等式练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

第四节基本不等式时间：45分钟分值：100分一、选择题1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A．a＋b≥2B.＋≥2C.≥2D．a2＋b2>2ab解析当a，b都是负数时，A不成立，当a，b一正一负时，B不成立，当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．答案C2．设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：2≤，则p是q成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析命题p：(a－b)2≤0⇔a＝b；命题q：(a－b)2≥0.显然，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要条件．答案B3．下列不等式：①a2＋1>2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析①②不正确，③正确，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1.答案B4．已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t的值为()A．2B．4C．2D．2解析当a>0，b>0时，有ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号． ab的最大值为2，∴＝2，t2＝8，∴t＝＝2.答案C5．(2015·湖北黄冈月考)设a>1，b>0，若a＋b＝2，则＋的最小值为()A．3＋2B．6C．4D．2解析由a＋b＝2可得，(a－1)＋b＝1.因为a>1，b>0，所以＋＝(a－1＋b)＝＋＋3≥2＋3.当且仅当＝，即a＝，b＝2－时取等号．答案A6．(2014·湖北八校联考)若x，y∈(0,2]且xy＝2，使不等式a(2x＋y)≥(2－x)(4－y)恒成立，则实数a的取值范围为()A．a≤B．a≤2C．a≥2D．a≥解析由x，y∈(0,2]且xy＝2，得a≥＝＝－2.又由2x＋y≥2＝4，∴a≥.答案D二、填空题7．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.解析由于x>0，a>0，f(x)＝4x＋≥4.此时当4x＝时，f(x)取得最小值4，即a＝4x2.∴a＝4×32＝36.答案368．(2014·福建卷)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．解析设容器的底长x米，宽y米，则xy＝4.所以y＝，则总造价为：f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x＝20＋80，x∈(0，＋∞)．所以f(x)≥20×2＋80＝160，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．答案1609．(2014·陕西卷)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．解析由柯西不等式，可得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，所以5(m2＋n2)≥25.所以m2＋n2≥5，即≥，当且仅当an＝bm时，等号成立．故的最小值为.答案三、解答题10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值．解(1) x>0，a>2x，∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×2＝，当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.(2)由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则＋＝≥＝2.∴min＝2.当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．11．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.1．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为()A．1B．6C．9D．16解析方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6.方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)－10≥16－10＝6.方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6.答案B2．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a∈R，a*0＝a；(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．则函数f(x)＝(ex)*的最小值为()A．2B．3C．6D．8解析依题意可得f(x)＝(ex)*＝ex·＋ex＋＝ex＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝0时“＝”成立，所以函数f(x)＝(ex)*的最小值为3，选B.答案B3．(2015·山东淄博期末)若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值是________．解析由基本不等式得2a＋2b≥2＝2×2，即2a＋b≥2×2，所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，所...