向量的分解与向量的坐标运算平面向量的数量积知识精讲一.本周教学内容：2.2向量的分解与向量的坐标运算2.3平面向量的数量积教学目的：了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算；会用坐标表示平面向量共线的条件；理解平面向量数量积的含义及其物理意义；知道平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。二.教学重点、难点重点：平面向量基本定理及其应用；向量的直角坐标运算；向量共线条件的坐标表示；向量的数量积的定义及其性质；对向量数量积运算律的理解和应用；向量数量积的坐标运算与度量公式。难点：平面向量基本定理及其应用；应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题；对向量数量积定义及性质的理解和应用；对向量数量积运算律的理解和应用；灵活运用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关问题。知识分析1.平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数a1、a2，使。我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。记为{，}，叫做向量关于基底{，}的分解式。注意：（1）平面内任一向量都可以分解成的形式，且分解式是惟一的。（2）平面向量基本定理是平面向量正交分解的理论依据。（3）若、两个向量不共线，则向量与、共面的充要条件是存在惟一一对实数，使。（4）关于基底，平面内任意不共线的两个向量都可以作为基底，但在选取基底时，应尽量使用有利于解决问题的基底。2.直线的向量参数方程已知A、B是直线l上的任意两点，O是l外一点，则对于l上任一点P，存在实数t，使关于基底的分解式为①反过来，满足①式的点P一定在l上。特别地，当M是AB的中点，则3.正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直，如果基底的两个基向、：互相垂直，则称这个基底为正交基底。在正交基底下分解向量，叫做正交分解。4.向量的直角坐标（1）在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，作为基向量，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{，}，任作一向量，如下图由平面向量基本定理可知，存在惟一的有序实数对（a1，a2）使得。（a1，a2）就是向量在基底{，}下的坐标，即＝（a1，a2）。其中a1叫做向量在x轴上的坐标分量，a2叫做在y轴上的坐标分量。（2）设向量＝（a1，a2），的方向相对于x轴正向的转角为θ，则，。（3）在直角坐标系中，一点A的位置被点A的位置向量所惟一确定，设点A的坐标为（x，y）则=(x,y)。即点A的位置向量的坐标（x，y），也就是点A的坐标；反之，点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置的坐标。5.向量的直角坐标运算（1）设，则即同理有即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积。（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB中点M的坐标为（，）6.平面向量共线的坐标表示选择基底，设，，其中，我们知道共线，则有。用坐标可表示为即①②①、②式两边分别乘以b2、b1，得③④③－④得⑤⑤式便是两个向量平行的条件由于规定零向量可与任一向量平行，所以在应用⑤式时可去掉的假设。另：若b1≠0且b2≠0（也可写作），则⑤式可以写作⑥即两向量平行的条件是相应坐标成比例。注意：（1）⑤式成立，可判断两向量平行，反之，两向量平行，则它们的坐标满足⑤式。（2）有同学在消去①②中的时，用①÷②，这种做法不对。因为有可能为0。（3）⑥式在证明向量共线时很好用，但要注意的条件，即局限性。7.三点共线的证明设A（x1，y1），B（x2，y2，），C（x3，y3）要证三点共线只需证∴只需证即可8.定比分点P的坐标设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），P是直线P1P2上不同于P1，P2的点，则与共线，于是有实数，使，即所以有解出x、y，有，也就是P点坐标是（）注意：（1）关于的取值，如图，当P在P1P2的延长线上或P在P2P1的延长线上时，由于与反向，所以如图，当P在直线P1P2内部时，与同向，（2...
