课时作业26平面向量的数量积与应用举例[基础达标]一、选择题1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝()A．1B.C．2D．4解析：因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，所以－3＋n2＝0，解得n2＝3，所以|a|＝2.答案：C2．[2019·云南省第一次统一检测]在▱ABCD中，|AB|＝8，|AD|＝6，N为DC的中点，BM＝2MC，则AM·NM＝()A．48B．36C．24D．12解析：AM·NM＝(AB＋BM)·(NC＋CM)＝＝AB2－AD2＝×82－×62＝24，故选C.答案：C3．[2019·石家庄高中质量检测]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.B.C.D.解析： |a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝|b|，cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝＝，故a＋b与a的夹角为.答案：A4．[2019·陕西西安地区八校联考]已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量CD在BA方向上的投影是()A．－3B．－C．3D.解析：依题意得，BA＝(－2，－1)，CD＝(5,5)，BA·CD＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA|＝，因此向量CD在BA方向上的投影是＝＝－3，选A.答案：A5．[2019·惠州市调研考试]若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形解析：(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即CB·(AB＋AC)＝0， AB－AC＝CB，∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形．答案：A6．[2019·云南省高三11校跨区调研考试]平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于()A．13＋6B．2C.D.解析：依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos45°＝2，|3a＋b|＝＝＝＝，选D.答案：D7．[2019·石家庄高中模拟考试]已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则AC·AB＝()A．1B．2C．3D．4解析：连接BC， AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，AC在AB上的投影|AC|cos〈AC，AB〉＝|AB|＝2，∴AC·AB＝|AC||AB|·cos〈AC，AB〉＝4.故选D.答案：D8．[2019·武汉市高中调研测试]已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为()A．－1B．－2C．－D．－解析：不妨设e＝(1,0)，则a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，则a＋b＝(－1，m＋n)，所以|a＋b|＝＝2，所以(m＋n)2＝3，即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，当且仅当m＝n时等号成立，所以mn≤，所以a·b＝－2＋mn≤－，综上可得a·b的最大值为－.故选D.答案：D9．[2019·呼伦贝尔模拟]O是平面上一定点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：如图，取BC中点D.因为OP＝OA＋λ(AB＋AC)，OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝2λAD，所以A，P，D三点共线，所以AP一定通过△ABC的重心．答案：C10．[2018·天津卷]如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为()A.B.C.D．3解析：本题主要考查数量积的综合应用．解法一如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，∴AE·BE＝(－1，t)·＝t2－t＋， t∈[0，]，∴当t＝＝时，AE·BE取得最小值，(AE·BE)min＝－×＋＝.故选A.解法二令DE＝λDC(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝， AE＝AD＋λDC，∴BE＝BA＋AE＝BA＋AD＋λDC，∴AE·BE＝(AD＋λDC)·(BA＋AD＋λDC)＝AD·BA＋|AD|2＋λDC·BA＋λ2|DC|2＝3λ2－λ＋.当λ＝＝时，AE·BE取得最小值.故选A.答案：A二、填空题11．[2019·广东五校高三第一次考试]已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为________．解析：因为a·b＝3＋m，|a|＝＝2，|b|＝，由|b|cos〈a，b〉＝3可得|b|＝3，故＝3，解得m＝，故|b|＝＝2，故cos〈a，b〉＝＝，故〈a，b〉＝，即向量a与b的夹角为.答案：12．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.解析： e1·e2＝...
