课时素养评价十平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为()A.100焦耳B.50焦耳C.50焦耳D.200焦耳【解析】选B.设小车位移为s，则|s|=10米，WF=F·s=|F||s|·cos60°=10×10×=50(焦耳).2.(2019·蒙阴实中高一月考)在△ABC中，D为BC边的中点，已知=a，=b，则下列向量中与同方向的是()A.B.+C.D.-【解析】选A.因为D为BC边的中点，则有+=2，所以a+b与共线，又因为与a+b共线，所以选项A正确.3.(2019·新泰一中高一检测)若四边形ABCD满足+=0，(-)·=0，则该四边形一定是()A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形【解析】选C.因为+=0，所以=，所以四边形ABCD是平行四边形.由(-)·=0，得·=0，所以⊥，即此平行四边形对角线互相垂直，故一定是菱形.4.(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足=2a，=2a+b，则下列结论正确的是()A.|b|=1B.|a|=1C.a∥bD.(4a+b)⊥【解析】选B、D.如图，由题意，=-=(2a+b)-2a=b，则|b|=2，故A错误；|2a|=2|a|=2，所以|a|=1，B正确；因为=2a，=b，故a，b不平行，C错误；设BC的中点为D，则+=2，且⊥，而2=2a+(2a+b)=4a+b，所以(4a+b)⊥，故D正确.二、填空题(每小题4分，共8分)5.已知△ABC的三个顶点A(0，-4)，B(4，0)，C(-6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.则直线DE的方程为________，直线EF的方程为________.【解析】由已知得点D(-1，1)，E(-3，-1)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.又=(x+1，y-1)，=(-2，-2)，所以(-2)×(x+1)-(-2)×(y-1)=0，即x-y+2=0为直线DE的方程.同理可求，直线EF的方程为x+5y+8=0.答案：x-y+2=0x+5y+8=06.设O是△ABC内部一点，且+=-2，则△AOB与△AOC的面积之比为________.【解析】设D为AC的中点，如图所示，连接OD，则+=2.又+=-2，所以=-，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.答案：1∶2三、解答题(共26分)7.(12分)如图所示，若D为△ABC内一点，且|AB|2-|AC|2=|DB|2-|DC|2，求证：AD⊥BC.【证明】设=a，=b，=e，=c，=d，则a=e+c，b=e+d，所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.因为a2-b2=c2-d2，所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2，所以e·(c-d)=0.因为=+=d-c，所以·=e·(d-c)=0.又因为≠0，≠0，所以⊥，即AD⊥BC.8.(14分)某物体受到两个大小均为60N的力的作用，两个力的夹角为60°，且有一个力的方向为水平方向，求合力的大小及方向.【解析】如图，设，分别表示两个力，以OA，OB为邻边作▱OACB，则就是合力.根据题意，△OAC为等腰三角形且∠COA=30°，过点A作AD⊥OC，垂足为D.在Rt△OAD中，||=||·cos30°=60×=30，故||=2||=60.故合力的大小为60N，方向与水平方向成30°角.(15分钟·30分)1.(4分)O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(-)·(+)=(-)·(+)=0，则O为△ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】选B.因为(-)·(+)=0，则(-)·(+)=0，所以-=0，所以||=||.同理可得||=||，即||=||=||，所以O为△ABC的外心.2.(4分)甲、乙两人同时用力，拉起一个有绳相缚的物体处于静止状态，如图，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂线分别成30°、60°的角时，甲和乙的手上所承受的力之比是()A.1∶B.∶1C.1∶D.∶1【解析】选D.如图，设物体重量为G，则|F甲|=Gsin60°=G，|F乙|=Gsin30°=G，所以|F甲|∶|F乙|=∶1，故选D.3.(4分)(2019·黄山高一检测)单位圆上三点A，B，C满足++=0，则向量，的夹角为________.【解析】因为A，B，C为单位圆上三点，所以||=||=||=1，又因为++=0.所以-=+.所以=(+)2=++2·，可得cos<，>=-.所以向量，的夹角为120°.答案：120°4.(4分)在△ABC所在平面上有一点P，满足++=，则△PAB与△ABC的面积的比值是________.【解析】由题意可得=2，所以P是线段AC的三等分点(靠近点A)，易知S△PAB=S△ABC，即S△PAB∶S△ABC=1∶3.答案：1∶35.(14分)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹...
