专练46高考大题专练(四)立体几何的综合运用1．[2019·全国卷Ⅱ]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．2．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．3．如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；(2)求二面角E－BC－F的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．4．[2020·全国卷Ⅰ]如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO.(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角BPCE的余弦值．5.[2020·全国卷Ⅱ]如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．专练46高考大题专练(四)立体几何的综合运用1.解析：本题主要考查空间直线与平面的位置关系、利用空间向量法求二面角，意在考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．(1)由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，CB＝(1,0,0)，CE＝(1，－1,1)，CC1＝(0,0,2)．设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即所以可取n＝(0，－1，－1)．设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即所以可取m＝(1,1,0)．于是cos〈n，m〉＝＝－.所以，二面角B－EC－C1的正弦值为.2．解析：(1)证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解析：作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.可得PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P，D，DP＝，HP＝为平面ABFD的法向量．设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.3．解析：依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0，2,0)，E(2，0,2)，F(0,1,2)，G(0,0,2)，M，N(1,0,2)．(1)证明：依题意DC＝(0,2,0)，DE＝(2,0,2)．设n0＝(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z＝－1，可得n0＝(1,0，－1)．又MN＝，可得MN·n0＝0，又因为直线MN⊄平面CDE，所以MN∥平面CDE.(2)依题意，可得BC＝(－1,0,0)，BE＝(1，－2，2)，CF＝(0，－1,2)．设n＝(x1，y1，z1)为平面BCE的法向量，则即不妨令z＝1，可得n＝(0,1,1)．设m＝(x2，y2，z2)为平面BCF的法向量，则即不妨令z＝1，可得m＝(0,2,1)．因此有cos〈m，n〉＝＝，于是sin〈m，n〉＝.所以，二面角E－BC－F的正弦值为.(3)设线段DP的长为h(h∈[0,2])，则点P的坐标为(0,0，h)，可得BP＝(－1，－2，h)．易知，DC＝(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量，故|cos〈BP，DC〉|＝＝，由题意，可得＝sin60°＝，解得h＝∈[0,2]．所以，线段DP的长为.4．解析：(1)设DO＝a，由题设可得PO＝a，AO＝a，AB＝a，PA＝PB＝PC＝a.因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC.所以PA⊥平面PBC.(2)以O为坐标原点，OE的方向为y轴正方向，|OE|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设可得E(...
