高中数学 考点50 不等式选讲（含高考试题）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

考点50不等式选讲一、选择题1.(2015·山东高考理科·T5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)【解题指南】可以分段讨论去掉绝对值符号,也可以利用绝对值的几何意义,还可以结合选择题的特点利用特殊值排除错误答案.【解析】选A.方法一:当x<1时,原不等式化为1-x-(5-x)<2即-4<2,不等式恒成立;当1≤x<5时,原不等式即x-1-(5-x)<2,解得x<4;当x≥5时,原不等式化为x-1-(x-5)<2即4<2,显然不成立,综上可得不等式的解集为(-∞,4).方法二:由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1,5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x<4,所求不等式的解集为(-∞,4).方法三:用排除法,令x=0符合题意,排除C,D;令x=2符合题意,排除B.二、填空题2.（2015·重庆高考理科·Ｔ16）若函数的最小值为5，则实数_________.【解题指南】首先根据的值进行分类讨论，然后根据函数的单调性求解即可.【解析】由题意知（因为此时函数的最小值为0）当时，，此时函数的最小值为，解得当时，，此时函数的最小值为，解得综上可知或答案：或三、解答题3.（2015·安徽高考理科·T18）设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，（1）求数列的通项公式；（2）记，证明.【解题指南】（1）根据导数的几何意义求处曲线的切线方程。（20正确得出数列的通项公式，合理进行放缩。【解析】（1），曲线在点处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1),令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标。（2）因为，所以=，当n=1时，；当时，因为=，所以。综上可得对任意的，均有。4.（2015·安徽高考理科·T21）.设函数.（1）讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记上的最大值D；（3）在（2）中，取【解题指南】利用导数的单调性及绝对值不等式的性质求解。【解析】（1）=，，因为，所以cosx>0,-2<2sinx<2,①当时，函数内的单调递增，无极值；⑵当时，函数内的单调递减，无极值；③当时，在内存在唯一的，使得，时，函数单调递减；时，函数单调递增；因此，-2cd,则+>+.(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.【解题指南】(1)由a+b=c+d及ab>cd,可证明(+)2>(+)2,开方即得+>+.(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.【证明】(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2.由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,a,b,c,d均为正数,所以ab>cd.由(1)得+>+.(ii)若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.6.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T24)(10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-10,解得0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为（2）由题设可得，.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).7.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T24)(10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-10,解得0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得,f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1...