第九节函数与方程题号123456答案1．(2013·安徽安庆四校联考)如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)零点的区间是()A．[－2.1，－1]B．[1.9，2.3]C．[4.1，5]D．[5，6.1]解析：根据二分法的概念，由图象易知，函数f(x)在区间[1.9，2.3]上不能用二分法求出函数的零点．故选B.答案：B2．已知函数f(x)＝3x＋x－9的零点为x0，则x0所在区间为()A.B.C.D.解析：∵函数f(x)＝3x＋x－9在R上连续，f＝＋－9＜0，f＝＋－9＞0，所以ff＜0，故函数的零点x0所在区间为，故选D.答案：D3.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间()A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2)D．(2.6，3.0)答案：C4．设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A．[－4，－2]B．[－2，0]C．[0，2]D．[2，4]解析：对于B，∵f(0)＝4sin1＞0，f＝4sin(－π＋1)＋＝－4sin1＜－4sin＝－2＜0，∴在该区间上存在零点．对于C，∵f(2)＝4sin5－2＝4sin(5－2π)－2＜0，∴在该区间上存在零点．对于D，∵f(3.5)＝4sin8－3.5＝4sin(8－2π)－3.5＞0，∴在该区间上也存在零点．故选A.答案：A5．方程＝cosx在内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根解析：构造两个函数y＝|x|和y＝cosx，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．故选C.答案：C6．(2014·济南模拟)已知函数f(x)＝若k＞0，则函数y＝|f(x)|－1的零点个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由y＝|f(x)|－1＝0，得|f(x)|＝1，若x＞0，则|f(x)|＝|lnx|＝1，所以lnx＝1或lnx＝－1，解得x＝e或x＝.若x≤0，则|f(x)|＝|kx＋2|＝1，所以kx＋2＝1或kx＋2＝－1，解得x＝－＜0或x＝－＜0成立，所以函数y＝|f(x)|－1的零点个数是4.答案：D7．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx的零点分别为x1，x2，则x1，x2的大小关系是________________．解析：由f(x)＝x＋2x＝0知其零点小于0，∴x1＜0.由g(x)＝x＋lnx＝0知其零点大于0，∴x2＞0.∴x1＜x2.答案：x1＜x28．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则实数k的取值范围是________．解析：∵Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1(2∉，3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则必有f(2)·f(3)＜0，即(6－3k)·(12－4k)＜0，解得2＜k＜3，∴实数k的取值范围是(2，3)．答案：(2，3)9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是______________．解析：在坐标系内作出函数f(x)＝的图象，发现当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有3个交点，即函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．答案：(0，1)10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解析：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.①若Δ＝0，即m2－4＝0，当m＝－2时，t＝1；当m＝2时，t＝－1不合题意，舍去．∴2x＝1，x＝0符合题意．②若Δ>0，即m>2或m<－2，t2＋mt＋1＝0有一正一负两根，即t1t2<0，这与t1t2>0矛盾．∴这种情况不可能．综上可知，m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.11．(2014·长春模拟)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．解析：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)．因为y＝f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，所以f(x)＝(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.所以据此可作出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1)．
